120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập cấp số cộng Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

 

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

- Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi  

un+1=un+d,n*

Nhận xét:

- Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:

un u1 + (n - 1)d với n1,n.

c) Tính chất:

Ba số hạng uk1,uk,uk+1k2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk=uk1+uk+12.

d) Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:

Sn=u1+u2+...+un=nu1+un2=n2u1+n1d2

Các dạng bài toán về cấp số cộng

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp giải:

- Dãy số (un) là một cấp số cộng khi và chỉ khi un + 1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó.

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­1 và d. Tìm u­1 và d.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi un = un - 1 + d.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Nếu là cấp số cộng hãy xác định số hạng đầu tiên và công sai:

a) – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19.

b) 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20.

c) Dãy số (an), với an = 4n – 3.

Lời giải

a) Ta thấy 1 – (– 2) = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3

Nên dãy số – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 là cấp số cộng.

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u1 = – 2, công sai là d = 3.

b) Ta thấy: 4 – 2 = 2 nhưng 10 – 6 = 4

Nên dãy số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không là cấp số cộng.

c) Ta có: an = 4n – 3 thì an+1 = 4(n + 1) – 3.

Xét an+1 – an = 4(n + 1) – 3 – (4n – 3) = 4 (không đổi)

Vậy dãy số (an) với an = 4n – 3 là cấp số cộng.

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là a1 = 4.1 – 3 = 1, công sai là d = 4.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u2u3+u5=10u4+u6=26

a) Xác định công sai và hạng đầu tiên của cấp số cộng trên.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số cộng trên.

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên.

d) Số 6061 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

Gọi cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u1 và công sai d

Số hạng tổng quát của (un) là un = u1 + (n – 1)d

Ta có: 

u2u3+u5=10u4+u6=26u1+du1+2d+u1+4d=10u1+3d+u1+5d=26

u1+3d=102u1+8d=26u1=1d=3

Vậy u1 = 1 và d = 3.

b) Số hạng tổng quát là: un = 1 + (n – 1).3 hay u= 3n – 2 với .

c) Số hạng thứ 15 của cấp số cộng: u15 = 3.15 – 2 = 43.

d) Giả sử số hạng thứ k của cấp số cộng là uk = 6061, ta có: uk = 3k – 2 = 6061, suy ra k = 2021.

Vậy số 6061 là số hạng thứ 2021 của cấp số cộng.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Chứng minh cấp số cộng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng uk-1; uk; uk+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk=uk1+uk+12.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) Tìm x biết: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng.

b) Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P = x2 + y2.

Lời giải

a) Ta có: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng

x2+1+13x=2(x2)x25x+6=0x=2x=3

Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm.

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x=2+62=26=x+y2x=2y=10

Vậy P = x2 + y2 = 22 + 102 = 104.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

a) Nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a2 – bc, y = b2 – ca, z = c2 – ab.

b) Nếu phương trình x3 – ax2 + bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab = 2a3 + 27c.

Lời giải

a) a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b2 – 2ca

Và x + z = a+ c2 - b(a + c)

= (a + c)– 2ac – 2b2

= 4b2 – 2ac – 2b2

= 2b2 – 2ac = 2y

Khi đó ta được: y=x+z2

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng khi đó: x1 + x3 = 2x2 (1)

Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3

Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)

Từ (1) và (2), ta được 3x2=ax2=a3

Vì phương trình đã cho có nghiệm x2=a3, tức là:

a33aa32+ba3c=02a327+ba3c=09ab=2a3+27c

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số cộng

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:

Sn=u1+u2+...+un=nu1+un2=n2u1+n1d2

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un)

a) (u­n) có số hạng tổng quát là: un = 7n – 3. Tính S100.

b) (u­n) có u2 + u22 = 40. Tính S23.

c) (u­n) có u+ u8 + u12 + u16 = 224. Tính S19.

Lời giải

a) Từ công thức số hạng tổng quát

Ta có:

Số hạng đầu: u1 = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng thứ hai là : u2 = 7 . 2 – 3 = 11;

Công sai: d = 11 – 4 = 7

Khi đó ta có:

S100=n2u1+(n1)d2=100[2.4+(1001).7]2=35050

b) Ta có: u2+u22=40u1+d+u1+21d=402u1+22d=40

Vậy S23=232u1+22d2=23.402=460.

c) Ta có: u4 + u+ u12 + u16 = 224

u1+3d+u1+7d+u1+15d=2244u1+36d=224u1+9d=56

Vậy S19=192u1+18d2=19u1+9d=19.56=1064.

Ví dụ 2: Tính các tổng sau:

a) S = 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) + (2n + 1)

b) S = 1 + 4 + 7 +... + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4)

c) S = 1002 – 992 + 98– 972 +... + 22 – 12

Lời giải

a) Ta có dãy số 1;3;5;...;(2n – 1);(2n + 1) là cấp số cộng với công sai d = 2 và u= 1, số hạng tổng quát uk = u1 + (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 2n + 1 = u1 + (k – 1)d

2n+1=1+(k1).2k=n+1. Do đó dãy số có n + 1 số hạng.

Vậy Sn+1=k2u1+k1d2=n+12u1+nd2=(n+1)(2n+1)2.

b) Ta có dãy số 1; 4; 7; ... (3n – 2);(3n + 1);(3n + 4) là cấp số cộng với công sai d = 3 và u1 = 1, số hạng tổng quát uk = u+ (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 3n + 4 = u+ (k – 1)d

3n+4=1+k1.3k=n+2. Do đó dãy số có n + 2 số hạng.

Vậy Sn+2=k2u1+(k1)d2=(n+2)2+(n+1).32=(n+2)(3n+5)2.

c) S = 1002 – 99+ 982 – 97+... + 2– 12

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +... + (2 – 1)(2 + 1)

= 199 + 195 +... + 3

= 3 + 7 +... + 195 + 199

Ta có dãy số 3; 7; ...195; 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u1 = 3 và số hạng thứ n là un = 199.

Do đó có 199=3+n1.4n=50.

Vậy S=n2u1+n1d2=502.3+49.42=5050.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. Dãy số (an), với an=2n,n*

B. Dãy số (bn), với b1=1,bn+1=2bn+1,n*

C. Dãy số (cn), với cn=(2n3)24n2,n*

D. Dãy số (dn), với d1=1,dn+1=2018dn+1,n*.

Câu 2. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. 1; – 3; – 7; – 11; – 15. 

B. 1; – 3; – 6; – 9; – 12.

C. 1; – 2; – 4; – 6; – 8.

D. 1; – 3; – 5; – 7; – 9.

Câu 3. Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng?

A. un = 5 – 2n.

B. un = 2n.

C. un=n23.

D. un=23n5.

Câu 4. Cho cấp số cộng (un), biết u1 = – 5,d = 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. u15 = 34.

B. u15 = 45.

C. u13 = 31.

D. u10 = 35.

Câu 5. Cho cấp số cộng (un), biết u1 = – 5; d = 3. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số thứ 15.

B. Số thứ 20.

C. Số thứ 35.

D. Số thứ 36.

Câu 6. Cho cấp số cộng (un) biết: u1u3+u5=10u1+u6=17. Số hạng đầu tiên là

A. u1 = 16.

B. u1 = 6.

C. u1 = 7.

D. u1 = 14.

Câu 7. Cho cấp số cộng (un) thỏa: u5+3u3u2=213u72u4=34. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

A. u100 = – 243.

B. u100 = – 295.

C. u100 = – 231.

D. u100 = – 294.

Câu 8. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 và u– u15 = 84. Tìm số hạng u17.

A. u17 = 242.

B. u17 = 235.

C. u17 = 11.

D. u17 = 4.

Câu 9. Xác định x để 3 số 1 – x; x2; 1 + x lập thành một cấp số cộng.

A. x = 1 hoặc x = – 1.                                                                   

B. x = 2 hoặc x = – 2.

C. Không có giá trị nào của x.                

D. x = 0.   

Câu 10. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a2 + c2 = 2ab + 2bc.

B. a2 – c2 = 2ab – 2bc.  

C. a2 + c= 2ab – 2bc.

D. a2 – c2 = ab – bc.

Câu 11. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 5 và d = – 4. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên.

A. – 19500.

B. – 19300.

C. – 19750.

D. – 19550.

Câu 12. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 321 và un + 1 = un – 3 với mọi. Tính tổng S của 125 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

A. S = 16875.

B. S = 63375.

C. S = 63562,5.

D. S = 16687,5.

Câu 13. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là un = 3n + 4 với . Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Sn=3n12.

B. Sn=73n12.

C. Sn=3n2+5n2.

D. Sn=3n2+11n2.

Câu 14. Cho cấp số cộng 3; 8; 13;... Tính tổng S = 3 + 8 + 13 +... + 2018.

A. S = 408422.

B. S = 408242.

C. S = 407231,5.

D. S = 409252,5.

Câu 15. Phương trình x3 – 3x2 – 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m = 16.

B. m = 11.

C. m = 13.

D. m = 12.

Đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

A

B

C

C

A

B

C

A

B

B

A

D

B

B

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

300 Bài tập Toán 11 chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân (có đáp án năm 2023)

120 Bài tập về cấp số nhân (có đáp án năm 2023)

120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về phương pháp quy nạp toán học (có đáp án năm 2023)

120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 1)
Trang 1
120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 2)
Trang 2
120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 3)
Trang 3
120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 4)
Trang 4
120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 5)
Trang 5
120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 6)
Trang 6
120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 7)
Trang 7
120 Bài tập về cấp số cộng (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!