Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử
A. Trắc nghiệm
Câu 1. Cho |x| < 3 và biểu thức A = x4+3x3−27x−81. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A > 1
B. A > 0
C. A < 0
D. A ≥ 1
Đáp án đúng là: C
Ta có: A = x4+3x3−27x−81
= (x4−81)+(3x3−27x)
= (x2−9)(x2+9)+3x(x2−9)
= (x2−9)(x2+3x+9)
Ta có: x2+3x+9 = x2+2⋅32x+94+274≥274>0 ∀ x ∈ ℝ.
Mà |x| < 3 nên x2 < 9 hay x2 - 9 < 0.
Do đó A = (x2−9)(x2+3x+9)<0 khi |x| < 3.
Câu 2. Đa thức x6 - y6 được phân tích thành
A. (x+y)2(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)
B. (x+y)2(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)
C. (x+y)2(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)
D. (x+y)2(x2+2xy+y2)(y−x)(x2+xy+y2)
Đáp án đúng là: C
Ta có: x6−y6=(x3)2−(y3)2=(x3+y3)(x3−y3)
(x+y)(x2−xy+y2)(x−y)(x2+xy+y2).
Câu 3. Cho x = 20 – y và biểu thức B = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + x2 + 2xy + y2. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B < 8300
B. B > 8500
C. B < 0
D. B > 8300
Đáp án đúng là: D
Ta có: B = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + x2 + 2xy + y2
= (x3+3x2y+3xy2+y3)+(x2 + 2xy + y2)
= (x+y)3+(x+y)2
= (x+y)2(x+y+1)
Vì x = 20 – y nên x + y = 20.
Thay x + y = 20 vào B = (x+y)2(x+y+1), ta được
B = (20)2(20 + 1) = 400.21 = 8400.
Vậy B > 8300 khi x = 20 – y.
Câu 4. Chọn câu sai.
A. x2−6x+9=(x−3)2
B. x24+2xy+4y2=(x4+2y)2
C. x24+2xy+4y2=(x2+2y)2
D. 4x2−4xy+y2=(2x−y)2
Đáp án đúng là: B
Ta có:
• x2−6x+9=x2−2.3x+32=(x−3)2 nên A đúng.
• x24+2xy+4y2 = (x2)2.2.2y+(2y)2 = (x2+2y)2 nên B sai, C đúng.
• 4x2−4xy+y2=(2x)2−2.2x.y+y2=(2x−y)2 nên D đúng.
Câu 5. Với a3 + b3 + c3 = 3abc thì
A. a = b = c
B. a + b + c = 1
C. a = b = c hoặc a + b + c = 0
D. a = b = c hoặc a + b + c = 1
Đáp án đúng là: C
Từ đẳng thức đã cho suy ra a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
b3+c3=(b+c)(b2+c2−bc)
= (b+c)[(b+c)2−3bc]
= (b+c)3−3bc(b+c).
Khi đó a3+b3+c3−3abc=a3+(b3+c3)−3abc
= a3+(b3+c3)−3abc(b+c)−3abc
= (a+b+c)(a2−a(b+c)+(b+c)2)−[3bc(b+c)+3abc].
Do đó a3+(b3+c3)−3abc = (a+b+c)(a2−a(b+c)+(b+c)2)−3bc(a+b+c)
= (a+b+c)(a2−a(b+c)+(b+c)2−3bc)
= (a+b+c)(a2−a(b+c)+(b+c)2−3bc)
= (a+b+c)(a2−ab−ac+b2+2bc+c2−3bc)
= (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)
Do đó nếu a3+(b3+c3)−3abc=0 thì a + b +c = 0 hoặc a2+b2+c2−ab−ac−bc=0
Mà a2+b2+c2−ab−ac−bc = [(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]
Nếu (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0 ⇔{a−b=0b−c=0a−c=0⇒a=b=c.
Vậy a3+(b3+c3)−3abc=0 thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.
Câu 6. Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + 6x + 9, ta được
A. (x + 3)(x - 3)
B. (x - 1)(x + 9)
C. (x + 3)2
D. (x + 6)(x - 3)
Đáp án đúng là: B
Ta có x2+6x+9=x2+2x . 3+32=(x+3)2.
Câu 7. Tính giá trị biểu thức P = x3 - 3x2 + 3x với x = 1001.
A. 10003 + 1
B. 10003 – 1
C. 10003
D. 10013
Đáp án đúng là: D
Ta có: P = x3−3x2+3x−1+1 = (x−1)3+1
Thay x = 1001 vào P, ta được:
P = (1001−1)3+1=10003+1
Câu 8. Tính nhanh biểu thức 372 - 132.
A. 1200
B. 800
C. 1500
D. 1800
Đáp án đúng là: A
372 - 132 = (37 - 13)(37 + 13)
= 24.50 = 1200
Câu 9. Phân tích đa thức x2−2xy+y2−81 thành nhân tử:
A. (x - y - 3)(x - y + 3)
B. (x - y - 9)(x - y + 9)
C. (x + y - 3)(x + y + 3)
D. (x + y - 9)(x + y - 9)
Đáp án đúng là: B
x2−2xy+y2−81 = (x2−2xy+y2)−81 (nhóm 3 hạng tử đầu để xuất hiện bình phương một hiệu)
= (x - y)2 - 92 (áp dụng hằng đẳng thức A2−B2=(A−B)(A + B)
= (x - y - 9)(x - y + 9)
Câu 10. Giá trị thỏa mãn biểu thức 2x2 - 4x + 2 = 0 là
A. 1
B. – 1
C. 2
D. 4
Đáp án đúng là: A
Ta có: 2x2 - 4x + 2 = 0
2(x2 - 2x + 1) = 0
2(x - 1)2 = 0
x - 1 = 0
x = 1
Vậy x = 1
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn (2x−5)2−4(x−2)2=0?
A. 2
B. 1
C. 0
D. 4
Đáp án đúng là: B
Ta có: (2x−5)2−4(x−2)2=0
(2x−5)2−[2(x−2)]2=0
(2x−5)2−(2x−4)2=0
(2x−5+2x−4)(2x−5−2x+4)=0
(4x - 9).(-1) = 0
4x = 9
x = 94
Câu 12. Đa thức 4b2c2−(c2+b2−a2)2 được phân tích thành
A. (b+c+a)(b+c−a)(a+b−c)(a−b+c)
B. (b+c+a)(b−c−a)(a+b−c)(a−b+c)
C. (b+c+a)(b+c−a)(a+b−c)2
D. (b+c+a)(b+c−a)(a+b−c)(a−b−c)
Đáp án đúng là: A
Ta có: 4b2c2−(c2+b2−a2)2
= (2bc)2−(c2+b2−a2)2
= (2bc+c2+b2−a2)(2bc−c2−b2+a2)
= [(b+c)2−a2][a2−(b2−2bc+c2)]
= [(b+c)2−a2][a2−(b−c)2]
= (b+c+a)(b+c−a)(a+b−c)(a−b+c)
Câu 13. Tính nhanh giá trị của biểu thức x2+2x+1−y2 tại x = 94,5 và y = 4,5.
A. 8900
B. 9000
C. 9050
D. 9100
Đáp án đúng là: D
x2+2x+1−y2=(x2+2x+1)−y2 (nhóm hạng tử)
= (x+1)2−y2 (áp dụng hằng đẳng thức)
= (x+1−y)(x+1+y)
Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức, ta được:
(94,5+1−4,5)(94,5+1+4,5)
= 91.100 = 9100
Câu 14. Hiệu bình phương các số lẻ liên tiếp thì luôn chia hết cho
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Đáp án đúng là: B
Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2k−1 ; 2k+1 (k∈ℕ*)
Theo bài ra ta có:
(2k+1)2−(2k−1)2 = 4k2+4k+1−4k2+4k−1 = 8k ⋮ 8, ∀k∈ℕ*
Câu 15. Giá trị của x thỏa mãn 5x2 - 10x + 5 = 0 là
A. x = 1
B. x = – 1
C. x = 2
D. x = 5
Đáp án đúng là: A
Ta có: 5x2 - 10x + 5 = 0
⇔ 5(x2 - 2x + 1) = 0
⇔ (x - 1)2 = 0
⇔ x - 1 = 0
⇔ x = 1
B. Lý thuyết
1. Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích những đa thức.
Ví dụ: 3x2 + 3x = 3x(x + 1).
2. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử
2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức
Sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2);
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2).
Ví dụ: 4 – 9x2 = 22 – (3x)2 = (2 – 3x)(2 + 3x)
8 – x3 = 23 – x3 = (2 – x)(22 + 2 . x + x2)
= (2 + x)(4 + 2x + x2)
2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng đằng đẳng thức thông qua nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung
Để phân tích đa thức thành nhân tử ta làm như sau
- Nhóm các hạng tử thành nhóm
- Dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chúng để viết nhóm thành tích.
Ví dụ: x2 + 2xy + y2 – x – y
= (x2 + 2xy + y2) – (x + y)
= (x + y)2 – (x + y)
= (x + y)(x + y – 1)
Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều hay, có đáp án khác:
Trắc nghiệm Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến
Trắc nghiệm Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ
Trắc nghiệm Bài 1: Phân thức đại số
