Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

Vậy có P₅ = 5! = 120 cách sắp.

Gọi $A=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ với $a_1\ne 0$ và $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số $a_1\ne 0$ nên có 4 cách chọn a₁.

+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.

Vậy có 4.24 = 96 số.

Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.

Vậy có $A_7^5=\frac{7!}{(7-5)!}=2520$ cách sắp.

Gọi  với $A=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ và $a_1\ne 0$ phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số $a_1\ne 0$ nên có 5 cách chọn a₁.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí $A_5^3$ cách.

Vậy có $5A_5^3=300$ số.

Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có $C_{10}^4=210$ cách chọn.

+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam.

- Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách.

- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có $C_5^2$.

Suy ra có $3C_5^2$ cách chọn.

+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam.

- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có $C_3^2$ cách.

- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5.

Suy ra có $5C_3^2$ cách chọn.

+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách.

Vậy có $3C_5^2+5C_3^2+1=46$ cách chọn.

Gọi $A=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ với $9\ge a_1>a_2>a_3>a_4\ge 0$ là số cần lập.

      $X=\left\{0;1;2;\mathrm{...};8;9\right\}$.

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có $C_{10}^4=210$ số.

+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.

- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách.

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^2$ cách.

- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có $C_{13}^2$ cách.

Suy ra có $5A_{15}^2.C_{13}^2$ cách chọn cho trường hợp 1.

+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.

- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có $C_5^2$ cách.

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^2$ cách.

- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.

Suy ra có $13A_{15}^2.C_5^2$ cách chọn cho trường hợp 2.

+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.

- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có $C_5^3$ cách.

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^2$ cách.

Suy ra có $A_{15}^2.C_5^3$ cách chọn cho trường hợp 3.

Vậy có $5A_{15}^2.C_{13}^2+13A_{15}^2.C_5^2+A_{15}^2.C_5^3=111300$ cách.

Cách khác:

+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^2$ cách.

+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.

- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có $5.C_{13}^2$ cách.

- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có $13.C_5^2$ cách.

- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có $C_5^3$ cách.

Vậy có $A_{15}^2\left(5.C_{13}^2+13.C_5^2+C_5^3\right)=111300$ cách.

+ Loại 1: chữ số a₁ tùy ý, ta có 5! = 120 số.

+ Loại 2: chữ số a₁ = 0, ta có 4! = 24 số.

Vậy có 120 – 24 = 96 số.

+ Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có $C_{13}^3$ cách.

+ Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có $C_7^3$ cách.

Vậy có $C_{13}^3-C_7^3=251$ cách chọn.

+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có $C_{20}^{10}$ cách.

+ Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó.

- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có $C_{16}^{10}$ cách.

- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có $C_{13}^{10}$ cách.

- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có $C_{11}^{10}$ cách.

Vậy có $C_{20}^{10}-\left(C_{16}^{10}+C_{13}^{10}+C_{11}^{10}\right)=176451$ đề kiểm tra.

+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ).

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có $A_{12}^2$ cách.

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có $C_{10}^2$ cách.

Suy ra có $A_{12}^2.C_{10}^2$ cách bầu loại 1.

+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có $A_7^2$ cách.

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có $C_5^2$ cách.

Suy ra có $A_7^2.C_5^2$ cách bầu loại 2.

Vậy có $A_{12}^2.C_{10}^2-A_7^2.C_5^2=5520$ cách.

Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau.

Vậy có $\frac{10!}{5!2!3!}=2520$ số.

Xét 3 loại ghế gồm 1 ghế có 3 chỗ, 1 ghế có 2 chỗ và 2 ghế có 1 chỗ ngồi.

+ Bước 1: do 2 ghế có 1 chỗ không phân biệt nên chọn 2 trong 4 vị trí để sắp ghế 2 và 3 chỗ ngồi có $A_4^2=12$ cách.

+ Bước 2: sắp 3 nam vào ghế 3 chỗ có 3! = 6 cách.

+ Bước 3: sắp 2 nữ vào ghế 2 chỗ có 2! = 2 cách.

Vậy có 12.6.2 = 144 cách sắp.

Chọn 2 trong n đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo.

Số cạnh và đường chéo là $C_n^2$. Suy ra số đường chéo là $C_n^2-n$.

Ta có: $C_n^2-n=2n\iff \frac{n!}{2!(n-2)!}-n=2n$

                                  $\iff n(n-1)=6n\iff n=7$.

Vậy có 7 cạnh.

Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3, 4).

+ Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0.

- Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách.

- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.

Suy ra có 120.2 = 240 số.

+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0.

- Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách.

- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.

Suy ra có 24.2 = 48 số.

Vậy có 240 – 48 = 192 số.

+ Loại 1: chữ số a₁ có thể là 0.

Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có $A_6^4=360$ cách. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Suy ra có 360 – 24 = 336 số.

+ Loại 2: chữ số a₁ là 0 (vị trí a₁ đã có chữ số 0).

Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3 vị trí có $A_5^3=60$ cách. Sắp 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 vị trí có 3! = 6 cách. Suy ra có 60 – 6 = 54 số.

Vậy có 336 – 54 = 282 số.

Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền.

+ Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! = 2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2 = 8 cách chọn nền.

+ Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! = 6 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 = 18 cách chọn nền.

Vậy có 8.18 = 144 cách chọn nền cho mỗi người.

+ Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm có thể là 0.

Từ $A_4^3=24$ số A ta lập được 12 cặp số có tổng là 333. Ví dụ 012 + 321 = 333.

Suy ra tổng các số A là 12.333 = 3996.

+ Xét số B có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm là 0.

Từ $A_3^2=6$ số B ta lập được 3 cặp số có tổng là 44. Ví dụ 032 + 012 = 44.

Suy ra tổng các số B là 3.44 = 132.

Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.

Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật.

Vậy có $C_{10}^2=45$ hình chữ nhật.

+ Lý luận tương tự câu 65 ta có $C_n^2$ hình chữ nhật.

+ Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là $C_{2n}^3$.

+ Từ giả thiết ta có: $C_{2n}^3=20C_n^2\iff \frac{\left(2n\right)!}{3!\left(2n-3\right)!}=20\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}$

                                                    $\iff \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}=20\frac{n(n-1)}{2}\iff n=8$.

Vậy có $C_8^2=28$ hình chữ nhật.

+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có $C_{18}^6=18564$ cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có $C_{13}^6=1716$ cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có $C_{12}^6-C_7^6=917$ cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có $C_{11}^6-C_6^6=461$ cách.

Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn.

+ Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là $C_{10}^2=45$.

+ Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là $C_{10}^4=210$.

+ Số tập hợp con chứa 6 phần tử của X là $C_{10}^6=210$.

+ Số tập hợp con chứa 8 phần tử của X là $C_{10}^8=45$.

+ Số tập hợp con chứa 10 phần tử của X là 1.

Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợp.

+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 15 viên bi có $C_{15}^4=1365$ cách.

+ Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trường hợp sau:

- Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách.

- Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng có 240 cách.

- Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách.

Vậy có 1365 – 720 = 645 cách.

Do thi đấu vòng tròn 1 lượt nên 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là $C_{14}^2=91$.

+ Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23 = 46.

+ Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là 3.68 = 204.

Vậy số điểm trung bình của 1 trận là $\frac{46+204}{91}=\frac{250}{91}$ điểm.

Xem số có 7 chữ số như 7 vị trí thẳng hàng.

+ Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trí để sắp 2 chữ số 2 (không hoán vị) có $C_7^2=21$ cách.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để sắp 3 chữ số 3 (không hoán vị) có $C_5^3=10$ cách.

+ Bước 3: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trí còn lại (có hoán vị) có $A_3^2=6$ cách.

Vậy có 21.10.6 = 1260 số.

+ Loại 1: chữ số a₁ có thể là 0.

- Bước 1: chọn 1 trong 3 vị trí đầu để sắp chữ số 1 có 3 cách.

- Bước 2: chọn 4 trong 7 chữ số (trừ chữ số 1) để sắp vào các vị trí còn lại có $A_7^4=840$ cách. Suy ra có 3.840 = 2520 số.

+ Loại 2: chữ số a₁ là 0.

- Bước 1: chọn 1 trong 2 vị trí thứ 2 và 3 để sắp chữ số 1 có 2 cách.

- Bước 2: chọn 3 trong 6 chữ số (trừ 0 và 1) để sắp vào các vị trí còn lại có $A_6^3=120$ cách. Suy ra có 2.120 = 240 số.

Vậy có 2520 – 240 = 2280 số.

+ Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có $C_5^2{C}_{25}^{13}$ cách.

+ Loại 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có $C_5^2{C}_{10}^{10}{C}_{15}^3$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có $C_5^2{C}_{10}^9{C}_{15}^4$ cách.

Vậy có $C_5^2\left(C_{25}^{13}-C_{10}^{10}{C}_{15}^3-C_{10}^9{C}_{15}^4\right)=51861950$ cách.

+ Trường hợp 1: 1 khối có 3 học sinh và 2 khối còn lại mỗi khối có 1 học sinh.

- Bước 1: chọn 1 khối có 3 học sinh có 3 cách.

- Bước 2: trong khối đã chọn ta chọn 3 học sinh có $C_4^3=4$ cách.

- Bước 3: 2 khối còn lại mỗi khối có 4 cách chọn.

Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách.

+ Trường hợp 2: 2 khối có 2 học sinh và khối còn lại có 1 học sinh.

- Bước 1: chọn 2 khối có 2 học sinh có $C_3^2=3$ cách.

- Bước 2: trong 2 khối đã chọn ta chọn 2 học sinh có $C_4^2=6$ cách.

- Bước 3: khối còn lại có 4 cách chọn.

Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách.

Vậy có 192 + 432 = 624 cách.

Cách khác:

+ Chọn 5 học sinh tùy ý có $C_{12}^5=792$ cách.

+ Chọn 5 học sinh khối A và B (tương tự khối A và C, B và C) có $C_8^5=56$ cách.

Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách.

+ Số tập hợp con không chứa phần tử nào của $X\backslash \left\{0;1\right\}$ là $C_5^0$.

+ Số tập hợp con chứa 1 phần tử của $X\backslash \left\{0;1\right\}$ là $C_5^1$.

+ Số tập hợp con chứa 2 phần tử của $X\backslash \left\{0;1\right\}$ là $C_5^2$.

+ Số tập hợp con chứa 3 phần tử của $X\backslash \left\{0;1\right\}$ là $C_5^3$.

+ Số tập hợp con chứa 4 phần tử của $X\backslash \left\{0;1\right\}$ là $C_5^4$.

+ Số tập hợp con chứa 5 phần tử của $X\backslash \left\{0;1\right\}$ là $C_5^5$.

Suy ra số tập hợp con của $X\backslash \left\{0;1\right\}$ là $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=32$. Ta hợp các tập hợp con này với {1} thì được 32 tập hợp thỏa bài toán.

+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có $C_{12}^4=495$ cách.

+ Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp sau:

- Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có $C_5^2\mathrm{.4.3}=120$ cách.

- Chọn 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có $5.C_4^2.3=90$ cách.

- Chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có $\mathrm{5.4.}{C}_3^2=60$ cách.

Vậy có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách.

Gọi số cần lập là $A=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ với $1\le a_1\le 2$.

+ Trường hợp 1: a₁ = 1.

Có 4 cách chọn a₅ và $A_5^3$ cách chọn các chữ số còn lại nên có $4.A_5^3=240$ số.

+ Trường hợp 2: a₁ = 2, a₂ lẻ.

Có 2 cách chọn a₂, 3 cách chọn a₅ và $A_4^2$ cách chọn các chữ số còn lại nên có $\mathrm{2.3.}{A}_4^2=72$ số.

+ Trường hợp 3: a₁ = 2, a₂ chẵn.

Có 2 cách chọn a₂, 2 cách chọn a₅ và $A_4^2$ cách chọn các chữ số còn lại nên có $\mathrm{2.2.}{A}_4^2=48$ số.

Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số.

Số tập hợp con chứa k phần tử của A là $C_n^k$. Ta có:

$C_n^4=20C_n^2\iff \frac{n!}{4!\left(n-4\right)!}=20\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}$

$\iff (n-2)(n-3)=240\iff n=18$

                    $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{C}_{18}^k\ge C_{18}^{k-1}\\ C_{18}^k\ge C_{18}^{k+1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{18!}{k!\left(18-k\right)!}\ge \frac{18!}{(k-1)!\left(19-k\right)!}\\ \frac{18!}{k!\left(18-k\right)!}\ge \frac{18!}{(k+1)!\left(17-k\right)!}\end{array}\right.$

                    $\iff \left\{\begin{array}{l}19-k\ge k\\ k+1\ge 18-k\end{array}\right.\iff \frac{17}{2}\le k\le \frac{19}{2}$.

Vậy k = 9.