Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

• Miền nghiệm của bất phương trình x – y – 1 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₁: x – y – 1 = 0) chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình x + 4y + 9 ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂: x + 4y + 9 = 0) chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình x – 2y + 3 ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₁: x – y – 1 = 0) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(–1; –2), B(–5; –1) và C(5; 4).

Xét biểu thức F(x; y) = 3x – 2y – 4.

Tại A(–1; –2): F = 3.(–1) – 2.(–2) – 4 = –3.

Tại B(–5; –1): F = 3.(–5) – 2.(–1) – 4 = –17.

Tại C(5; 4): F = 3.5 – 2.4 – 4 = 3.

F(x; y) đạt giá trị nhỏ nhất bằng –17 tại B(–5; –1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 4}\\{x \ge 0}\\{x - y - 1 \le 0}\\{x + 2y - 10 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}y \ge 0\\y \le 4\end{array}\\{x \ge 0}\\{x - y - 1 \le 0}\\{x + 2y - 10 \le 0}\end{array}} \right.\]

Trên mặt phẳng Oxy:

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: y ≥ 0.

Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₁: y = 0) chứa điểm (0; 1).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: y ≤ 4.

Miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 4 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₂: y = 4) chứa điểm (0; 1).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x ≥ 0.

Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₃: x = 0) chứa điểm (1; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x – y – 1 ≤ 0.

Vẽ đường thẳng d₄: x – y – 1 = 0 đi qua hai điểm (0; –1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₁, ta có: 0 – 0 – 1 = –1 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x – y – 1 ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₄) chứa điểm O(0; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x + 2y – 10 ≤ 0.

 Vẽ đường thẳng d₅: x + 2y – 10 = 0 đi qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₁, ta có: 0 + 2.0 – 10 = –10 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₅) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃, d₄ và d₅) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác OABCD với O(0; 0), A(1; 0), B(4; 3), C(2; 4) và D(0; 4).

Xét biểu thức F(x; y) = x + 2y:

Tại O(0; 0): F = 0 + 2.0 = 0;

Tại A(1; 0): F = 1 + 2.0 = 1;

Tại B(4; 3): F = 4 + 2.3 = 10;

Tại C(2; 4): F = 2 + 2.4 = 10;

Tại D(0; 4): F = 0 + 2.4 = 8.

F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 10 tại hai điểm B(4; 3) và C(2; 4).

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trên mặt phẳng Oxy:

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x ≥ 0.

Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₁: x = 0) chứa điểm (1; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x – y – 1 ≤ 0.

Vẽ đường thẳng d₂: x – y – 1 = 0 đi qua hai điểm (0; –1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₂, ta có: 0 – 0 – 1 = –1 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x – y – 1 ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂) chứa điểm O(0; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x + 2y – 10 ≤ 0.

Vẽ đường thẳng d₃: x + 2y – 10 = 0 đi qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₁, ta có: 0 + 2.0 – 10 = –10 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₃) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(–1; 0), B(4; 3) và C(0; 5).

Gọi BH là đường cao kẻ từ B đến AC.

Khi đó BH = |x_B| = 4.

CA = CO + OA = |y_C| + |y_A| = 5 + 1 = 6.

Diện tích của tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}\) BH.CA = \(\frac{1}{2}\) .4.6 = 12 (đơn vị diện tích).

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Chi phí cho 30 giây quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 000 000 đồng, trên sóng truyền hình là 15 000 000 đồng nên chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 10 000 000 đồng, trên sóng truyền hình là 30 000 000 đồng.

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x (phút), trên truyền hình là y (phút).

Chi phí cho quảng cáo trên sóng phát thanh là: 10 000 000x (đồng).

Chi phí cho quảng cáo trên truyền hình là: 30 000 000y (đồng).

Tổng chi phí cho việc quảng cáo là: 10 000 000x + 30 000 000y (đồng).

Do công ty dự định chi tối đa 20 000 000 đồng cho quảng cáo nên ta có:

10 000 000x + 30 000 000y ≤ 20 000 000

Hay x + 3y ≤ 2 Û x + 3y – 2 ≤ 0.

Đổi 10 giây = \(\frac{1}{6}\) phút, 30 giây = \(\frac{1}{2}\) phút.

Sóng phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo có thời lượng ít nhất là 30 giây và nhiều dài nhất 2 phút nên ta có:

\(\frac{1}{2}\) ≤ x ≤ 2 \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{2} \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right.\]

Đài truyền hình chỉ nhận các chương trình quảng cáo có thời lượng ít nhất là 10 giây và nhiều nhất là 30 giây nên ta có:

\(\frac{1}{6}\) ≤ y ≤ \(\frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge \frac{1}{6}\\y \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - \frac{1}{6} \ge 0\\y - \frac{1}{2} \le 0\end{array} \right.\)

Hiệu quả chung của quảng cáo là: x + 6y.

Bài toán trở thành: Xác định x, y sao cho F(x; y) = x + 6y đạt giá trị lớn nhất với:

\[\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{2} \ge 0\\x - 2 \le 0\\y - \frac{1}{6} \ge 0\\y - \frac{1}{2} \le 0\\x + 3y - 2 \le 0\end{array} \right.\]

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

• Miền nghiệm của bất phương trình x – \(\frac{1}{2}\) ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₁: x – \(\frac{1}{2}\) = 0) không chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình x – 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂: x – 2 = 0) chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình y – \(\frac{1}{6}\) ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₃: y – \(\frac{1}{6}\)= 0) không chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình y – \(\frac{1}{2}\) ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₄: y – \(\frac{1}{2}\) = 0) chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y – 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₅: x + 3y – 2 = 0) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃, d₄ và d₅) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A\(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right),\) B\(\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{6}} \right)\) và C\(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Xét F(x; y) = x + 6y ta có:

Tại A\(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right):\) F = \(\frac{1}{2} + 6.\frac{1}{6} = 1,5;\)

Tại B\(\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{6}} \right):\) F = \(\frac{3}{2} + 6.\frac{1}{6} = 2,5;\)

Tại C\(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right):\) F = \(\frac{1}{2} + 6.\frac{1}{2} = 3,5.\)

Khi đó F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 3,5 tại C\(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Tức là công ty đó cần đặt thời lượng trên đài phát thanh \(\frac{1}{2}\) phút = 30 giây và trên đài truyền hình \(\frac{1}{2}\) phút = 30 giây để đạt hiệu quả nhất.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử xí nghiệp sản xuất x (cái) bánh đậu xanh và y (cái) bánh dẻo nhân đậu xanh (x ≥ 0, y ≥ 0).

Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần 0,03 kg đường, 0,04 kg đậu xanh nên để sản xuất x (cái) bánh đậu xanh thì cần 0,03x (kg) đường và 0,04x (kg) đậu xanh.

Sản xuất một cái bánh dẻo cần 0,07 kg đường, 0,04 kg đậu xanh nên để sản xuất y (cái) bánh dẻo thì cần 0,07y (kg) đường và 0,04y (kg) đậu xanh.

Số đường mà xí nghiệp có thể chuẩn bị được là 300 kg nên ta có:

0,03x + 0,07y ≤ 300 Û 3x + 7y – 30 000 ≤ 0.

Đậu xanh mà xí nghiệp có thể chuẩn bị được là 200 kg nên ta có:

0,04x + 0,04y ≤ 200 Û x + y – 5 000 ≤ 0.

Bán được hết x (cái) bánh đậu xanh và y (cái) bánh dẻo thì xí nghiệp thu được số tiền lãi là: F(x; y) = 5 000x + 4 500y.

Bài toán trở thành: Xác định x, y sao cho F(x; y) = 5 000x + 4 500y đạt giá trị lớn nhất với: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + 7y - 30\,\,000 \le 0\\x + y - 5\,\,000 \le 0.\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

• Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₁: x = 0) chứa điểm (1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂: y = 0) chứa điểm (1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 7y – 30 000 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₃: 3x + 7y – 30 000 = 0) chứa điểm (1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình x + y – 5 000 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₃: x + y – 5 000 = 0) chứa điểm (1; 1).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃, d₄) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC với O(0; 0), A(5 000; 0), B(1 250; 3 750) và C(0; 4 000).

Xét biểu thức F(x; y) = 5 000x + 4 500y, ta có:

• Tại O(0; 0):

F = 5 000.0 + 4 500.0 = 0;

• Tại A(5 000; 0):

F = 5 000 . 5 000 + 4 500.0 = 25 000 000;

• Tại B(1 250; 3 750):

F = 5 000 .1 250 + 4 500 .3 750 = 23 125 000;

• Tại C(0; 4 000):

F = 5 000.0 + 4 500 . 4 000 = 18 000 000.

Khi đó F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 25 000 000 tại A(5 000; 0).

Vậy xí nghiệp cần sản xuất 5 000 cái bánh đậu xanh và không sản xuất bánh dẻo.

Ta chọn phương án A.