16 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn có đáp án

Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn có đáp án

Đề số 1

Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn có đáp án

44 lượt thi
16 câu hỏi
0 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Gọi x (x > 0) là số lần giảm giá vé. Khi đó giá vé sau khi giảm là 100 – 10x (nghìn đồng).

Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 3000x khán giả.

Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 3000x.

Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên 27000 + 3000x £ 55 000 $\Leftrightarrow x \leq \frac{28}{3} .$

Doanh thu từ tiền bán vé là:

y = (27000 + 3000x).(100 – 10x) = −30 000x² + 30 000x + 2 700 000.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = −30 000x² + 30 000x + 2 700 000, x > 0.

Tập xác định D = (0; +∞).

Có y' = −60 000x + 30 000; y' = 0 $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Bảng biến thiên

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu tiền bán vé là lớn nhất.

Câu 2:

Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số $P (t) = \frac{25 t^{2} + 125}{t^{2} + 1}, 0 \leq t \leq 10,$ trong đó thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau t giây là

$P^{'} (t) = \frac{50 t (t^{2} + 1) - 2 t (25 t^{2} + 125)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- 200 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$P^{'} (5) = \frac{- 200.5}{{(5^{2} + 1)}^{2}} = - \frac{250}{169}$

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là giảm $\frac{250}{169}$ .

Câu 3:

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn (ảnh 1)

Gọi độ dài đoạn CD là x (km, 0 ≤ x ≤ 8).

Khi đó độ dài quãng đường AD là $\sqrt{9 + x^{2}}$ (km).

Thời gian đi hết quãng đường AD là: $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{6} (h)$ .

Độ dài quãng đường BD là 8 – x (km).

Thời gian đi hết quãng đường BD là: $\frac{8 - x}{8}$ (h).

Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{6} + \frac{8 - x}{8} (h)$ .

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{6} + \frac{8 - x}{8} (0 \leq x \leq 8)$ .

Có $y^{'} = \frac{x}{6 \sqrt{9 + x^{2}}} - \frac{1}{8}$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{6 \sqrt{9 + x^{2}}} - \frac{1}{8} = 0$ '

$\Leftrightarrow 8 x = 6 \sqrt{9 + x^{2}}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 64 x^{2} = 36 (9 + x^{2}) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 28 x^{2} = 324 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{9 \sqrt{7}}{7}$

Bảng biến thiên

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy anh An phải chèo thuyền đến điểm D cách C một đoạn $\frac{9 \sqrt{7}}{7}$ km thì sẽ đến B sớm nhất.

Câu 4:

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

a) Tìm hàm cầu.

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó ta cần xác định hàm cầu p = p(x).

Theo giả thiết tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất. Do đó p(x) = ax + b (a ≠ 0).

Theo đề có: x₁ = 1000 thì p₁ = 14; x₂ = 1100 thì p₂ = 13,5.

Khi đó phương trình đường thẳng p(x) = ax + b đi qua hai điểm (1000; 14) và (1100; 13,5) nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 1000 a + b = 14 \\ 1100 a + b = 13, 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{1}{200} \\ b = 19 \end{cases}$ .

Vậy $p = - \frac{1}{200} x + 19$ .

Câu 5:

b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

b) Vì $p = - \frac{1}{200} x + 19$ nên x =− 200p + 3800.

Khi đó tổng doanh thu từ tiền bán ti vi là

R(p) = x.p = (−200p + 3800).p = −200p² + 3800p.

Bài toán trở thành tìm p để R(p) đạt giá trị lớn nhất.

Có R'(p) = −400p + 3800; R'(p) = 0 Û p = 9,5.

Bảng biến thiên

b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy công ty giảm giá 14 – 9,5 = 4,5 triệu đồng cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.

Câu 6:

c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là C(x) = 12000 – 3x (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

c) Doanh thu từ bán x ti vi là R(x) = x.p(x) = $x (- \frac{1}{200} x + 19) = - \frac{1}{200} x^{2} + 19 x$ .

Khi đó tổng lợi nhuận từ bán x ti vi là:

P(x) = R(x) – C(x)

$= - \frac{1}{200} x^{2} + 19 x - (12000 - 3 x)$

$= - \frac{1}{200} x^{2} + 22 x - 12000$

Bài toán trở thành tìm x để P(x) lớn nhất.

Có $P^{'} (x) = - \frac{1}{100} x + 22$ ; $P^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{100} x + 22 = 0 \Leftrightarrow x = 2200.$

Bảng biến thiên

c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là C(x) = 12000 – 3x (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số ti vi bán ra trong 1 tuần là 2200 chiếc thì lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Tức là mỗi tuần bán thêm 1200 chiếc thì số tiền phải giảm giá 1200.500:100 = 6 000 nghìn đồng.

Vậy phải để giá bán là 14 – 6 = 8 triệu đồng.

Câu 7:

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là y = t³ – 12t + 3, t ³ 0.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

a) Hàm vận tốc là v(t) = y' = 3t² – 12, t ≥ 0.

Hàm gia tốc là a(t) = v'(t) = 6t, t ≥ 0.

Câu 8:

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới.

b) Hạt chuyển động lên trên khi v(t) > 0 Û 3t² – 12 > 0 Û t > 2 (do t ³ 0).

Hạt chuyển động xuống dưới khi v(t) < 0 Û 3t² – 12 < 0 Û 0 £ t < 2.

Câu 9:

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 £ t £ 3.

c) Quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 £ t £ 3 là 9m.

Vì y(3) – y(0) = 3³ – 12.3 + 3 – 3 = −9.

Câu 10:

d) Khi nào hạt tăng tốc? khi nào hạt giảm tốc?

d) Hạt tăng tốc khi v'(t) > 0 Û 6t > 0 Û t > 0.

Hạt giảm tốc khi v'(t) < 0 Û t < 0 (loại do t ³ 0).

Câu 11:

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: C(x) = 23000 + 50x – 0,5x² + 0,00175x³.

a) Tìm hàm chi phí biên.

a) Hàm chi phí biên là C'(x) = $\frac{21}{4000} x^{2} - x + 50$ .

Câu 12:

b) Tìm C'(100) và giải thích ý nghĩa của nó.

b) $C^{'} (100) = \frac{21}{4000} {.100}^{2} - 100 + 50 = 2, 5$ (trăm nghìn đồng).

Chi phí biên tại x = 100 là 250 000 đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm 1 đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị hàng hóa thứ 101) là khoảng 250 000 đồng.

Câu 13:

c) So sánh C'(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 là

C(101) – C(100) = 24752,52675 – 24750 = 2,52675 (trăm nghìn đồng).

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C'(100) đã tính ở câu b.

Câu 14:

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Gọi x là số lần tăng giá (0 < x < 100).

Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là 100 – x (căn).

Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là: 8 000 000 + 100 000x.

Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:

y = (8 000 000 + 100 000x)(100 – x)

= 800 000 000 – 8 000 000x + 10 000 000x – 100 000x²

= 800 000 000 + 2 000 000x – 100 000x²

Bài toán trở thành tìm x để y lớn nhất

Ta có y' = −200 000x + 2 000 000; y' = 0 Û x = 10.

Bảng biến thiên

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là 8 000 000 + 100 000.10 = 9 000 000 (đồng).

Câu 15:

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức $p = \frac{354}{1 + 0, 01 x}, x \geq 0$ , trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức (ảnh 1)

Câu 16:

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x = x(p). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

- Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng;

- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim_{p \to 0^{+}} x (p)$ .

b) $x = \frac{35400}{p} - 100$

1. Tập xác định của hàm số là D = (0; 354].

2. Sự biến thiên

+) Có $x^{'} = - \frac{35400}{p^{2}} < 0, \forall p \in D$ .

+) Hàm số luôn nghịch biến với mọi p ∈ (0; 354).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\lim_{p \to 0^{+}} x = \lim_{p \to 0^{+}} (\frac{35400}{p} - 100) = + \infty$ .

Do đó p = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x = x(p). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: (ảnh 1)

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm (354; 0) và đi qua điểm (300; 18); (200; 77).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x = x(p). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: (ảnh 2)

- Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng và sẽ không bán được sản phầm nào nếu giá bán là 354 nghìn đồng.

- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim_{p \to 0^{+}} x (p)$ : Vì $\lim_{p \to 0^{+}} x (p) = + \infty$ nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.

Bắt đầu thi ngay