Sau bài học này, ta có thể tính được phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên như sau:

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^2=\frac{1}{21}\left[3{\left(162-\frac{3550}{21}\right)}^2+5{\left(166-\frac{3550}{21}\right)}^2+\mathrm{...}+1{\left(178-\frac{3550}{21}\right)}^2\right]$

   $=\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx \mathrm{4,26}$.

a) Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm và tính được giá trị đại diện của mỗi nhóm như sau:

Số học sinh nữ lớp 12 tham gia khảo sát là n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

b) Ta có bảng thống kê mẫu số liệu mới:

Cỡ mẫu n = 21.

Giá trị trung bình $\overline{x}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu mới là: $S^2=\frac{1}{21}\left[3{\left(162-\frac{3550}{21}\right)}^2+5{\left(166-\frac{3550}{21}\right)}^2+\mathrm{...}+1{\left(178-\frac{3550}{21}\right)}^2\right]$

    $=\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx \mathrm{4,26}$.

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^2=\frac{1}{21}\left[3{\left(162-\frac{3550}{21}\right)}^2+5{\left(166-\frac{3550}{21}\right)}^2+\mathrm{...}+1{\left(178-\frac{3550}{21}\right)}^2\right]$

    $=\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx \mathrm{4,26}$.

a) Ta có bảng sau:

Ÿ Xét mẫu số liệu của Mai:

Cỡ mẫu là n_M = 6 + 7 + 6 + 6 + 5 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}_M=\frac{6\cdot 4+7\cdot 6+6\cdot 8+6\cdot 10+5\cdot 12}{30}=\mathrm{7,8}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_M^2=\frac{1}{30}$(6 ∙ 4² + 7 ∙ 6² + 6 ∙ 8² + 6 ∙ 10² + 5 ∙ 12²) – (7,8)² = 7,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_M=\sqrt{S_M^2}=\sqrt{\mathrm{7,56}}=\frac{3\sqrt{21}}{5}\approx \mathrm{2,75}$.

Ÿ Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Cỡ mẫu là n_N = 2 + 5 + 13 + 8 + 2 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}_N=\frac{2\cdot 4+5\cdot 6+13\cdot 8+8\cdot 10+2\cdot 12}{30}=\mathrm{8,2}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2=\frac{1}{30}$(2 ∙ 4² + 5 ∙ 6² + 13 ∙ 8² + 8 ∙ 10² + 2 ∙ 12²) – (8,2)² ≈ 3,83.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_N=\sqrt{S_N^2}\approx \sqrt{\mathrm{3,83}}\approx \mathrm{1,96}$.

b) Ta thấy S_N ≈ 1,96 < S_M ≈ 2,75.

Do đó, nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn.

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline{x}=\frac{13\cdot \mathrm{19,25}+45\cdot \mathrm{19,75}+24\cdot \mathrm{20,25}+12\cdot \mathrm{20,75}+6\cdot \mathrm{21,25}}{100}=\mathrm{20,015}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{100}$[13 ∙ (19,25)² + 45 ∙ (19,75)² + 24 ∙ (20,25)²

                                     + 12 ∙ (20,75)² + 6 ∙ (21,25)²] – (20,015)² ≈ 0,277.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{0,277}}\approx \mathrm{0,526}$.

a) Từ biểu đồ ta thấy có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu là n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline{x}=\frac{2\cdot \mathrm{7,3}+4\cdot \mathrm{7,5}+7\cdot \mathrm{7,7}+5\cdot \mathrm{7,9}}{18}\approx \mathrm{7,667}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{18}$[2 ∙ (7,3)² + 4 ∙ (7,5)² + 7 ∙ (7,7)² + 5 ∙ (7,9)²] – (7,667)² ≈ 0,032.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{0,032}}\approx \mathrm{0,179}$.

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

Do đó, $Q_1=\frac{\mathrm{46,7}+\mathrm{46,8}}{2}=\mathrm{46,75}$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

Do đó, $Q_3=\frac{\mathrm{54,8}+\mathrm{55,6}}{2}=\mathrm{55,2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline{x}=\frac{42+\mathrm{43,4}+\mathrm{43,4}+\mathrm{46,5}+\mathrm{...}+\mathrm{60,3}+\mathrm{61,1}}{20}=\mathrm{50,945}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{20}$[42² + (43,4)² + (43,4)² + … + (60,3)² + (61,1)²] – (50,945)² ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{32,2}}\approx \mathrm{5,675}$.

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R' =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [42; 46), x₄; …; x₁₀ ∈ [46; 50), x₁₁; …; x₁₄ ∈ [50; 54),

          x₁₅; …; x₁₇ ∈ [54; 58), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)$ ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_1=46+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}\cdot \left(50-46\right)=\frac{330}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_3=54+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+7+4\right)}{3}\cdot \left(58-54\right)=\frac{166}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{166}{3}-\frac{330}{7}=\frac{172}{21}$≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}^{\text{'}}=\frac{3\cdot 44+7\cdot 48+4\cdot 52+3\cdot 56+3\cdot 60}{20}=\mathrm{51,2}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S'² = $\frac{1}{20}$(3 ∙ 44² + 7 ∙ 48² + 4 ∙ 52² + 3 ∙ 56² + 3 ∙ 60²) – (51,2)² = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^{\text{'}}=\sqrt{{S^{\text{'}}}^2}=\sqrt{\mathrm{26,56}}=\frac{2\sqrt{166}}{5}\approx \mathrm{5,154}$.

a) Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu: n_A = 25 + 38 + 20 + 10 + 7 = 100; n_B = 22 + 27 + 19 + 18 + 14 = 100.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là: ${\overline{x}}_A=\frac{25\cdot 31+38\cdot 33+20\cdot 35+10\cdot 37+7\cdot 39}{100}=\mathrm{33,72}$.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là: ${\overline{x}}_B=\frac{22\cdot 31+27\cdot 33+19\cdot 35+18\cdot 37+14\cdot 39}{100}=\mathrm{34,5}$.

Vì ${\overline{x}}_A=\mathrm{33,72}<{\overline{x}}_B=\mathrm{34,5}$ nên đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A nhỏ hơn tại địa điểm B.

b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$S_A^2=\frac{1}{100}$(25 ∙ 31² + 38 ∙ 33² + 20 ∙ 35² + 10 ∙ 37² + 7 ∙ 39²) – (33,72)² ≈ 5,402.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là: $S_A=\sqrt{S_A^2}\approx \sqrt{\mathrm{5,402}}\approx \mathrm{2,324}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

$S_B^2=\frac{1}{100}$(22 ∙ 31² + 27 ∙ 33² + 19 ∙ 35² + 18 ∙ 37² + 14 ∙ 39²) – (34,5)² = 7,31.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là: $S_B=\sqrt{S_B^2}=\sqrt{\mathrm{7,31}}=\frac{\sqrt{731}}{10}\approx \mathrm{2,704}$.

Vì S_A ≈ 2,324 < S_B ≈ 2,704 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn.