9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước có đáp án

Câu 1:

Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{12}$ ta có hệ số của một số hạng chứa $x^{m}$ bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.

Xem đáp án

Số hạng thứ

k + 1

trong khai triển là

C_{12}^{k} {(x^{2})}^{12 - k} . {(\frac{1}{x})}^{k} = C_{12}^{k} . x^{24 - 2 k} . x^{- k} = C_{12}^{k} . x^{24 - 3 k} .

Hệ số của số hạng

x^{m}

là 495 nên

C_{12}^{k} = 495 \Leftrightarrow \frac{12!}{k! (12 - k)!} = 495 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = 4 \\ k = 8. \end{array}

Khi đó

m = 24 - 3 k

sẽ có 2 giá trị là

m = 0

và

m = 12

.

Câu 2:

Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển ${(1 + x)}^{n}$ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là $\frac{7}{15}$ .

Xem đáp án

Ta có

{(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + ... + C_{n}^{k} x^{k} + C_{n}^{k + 1} x^{k + 1} + ... + C_{n}^{n} x^{n}

.

\begin{array}{l} \frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k + 1}} = \frac{7}{15} \Leftrightarrow \frac{n!}{k! (n - k)!} . \frac{(k + 1)! (n - k - 1)!}{n!} = \frac{7}{15} \Leftrightarrow \frac{k + 1}{n - k} = \frac{7}{15} . \\ \Rightarrow 15 (k + 1) = 7 (n - k) \Leftrightarrow 7 n = 15 + 22 k \Leftrightarrow 7 n = 7 (3 k + 2) + k + 1. \end{array}

Vì

k; n \in ℕ

nên ta có

k + 1 ⋮ 7 \Rightarrow k_{\min} = 6 \Rightarrow n_{\min} = 21

.

Câu 3:

Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của $(1 + a x) {(1 + x)}^{4}$ có chứa số hạng $22 x^{3}$ .

A. a=5

B. a=-3

C. a=3

D. a=2

Xem đáp án

Ta có

(1 + a x) {(1 + x)}^{4} = {(1 + x)}^{4} + a x . {(1 + x)}^{4}

.
Xét khai triển

{(x + 1)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1

.
Suy ra số hạng chứa

x^{3}

là

4 x^{3}

.
Xét khai triển

a x {(x + 1)}^{4} = a x (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) = a x^{5} + 4 a x^{4} + 6 a x^{3} + 4 a x^{2} + a x

.
Suy ra số hạng chứa

x^{3}

là

6 a x^{3}

.
Suy ra số hạng chứa

x^{3}

trong cả khai triển là

(6 a + 4) x^{3}

.
Theo đề ra, ta có

6 a + 4 = 22 \Leftrightarrow a = 3

.

Đáp án C

Câu 4:

Biết rằng hệ số của $x^{n - 2}$ trong khai triển ${(x - \frac{1}{4})}^{n}$ bằng 31. Tìm n.

A. n=32

B. n=30

C. n = 31

D. n=33

Xem đáp án

Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có

{(x - \frac{1}{4})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{n - k} {(- \frac{1}{4})}^{k}

.
Hệ số của

x^{n - 2}

nên ta có

x^{n - 2} = x^{n - k} \Leftrightarrow k = 2

.
Ta có

C_{n}^{2} {(- \frac{1}{4})}^{2} = 31 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 492 \Leftrightarrow n = 32

.
Vậy n=32.

Đáp án A

Câu 5:

Xét khai triển ${(1 + 3 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n}$ với $n \in ℕ^{*}, n \geq 3$ . Giả sử $a_{1} = 27$ , khi đó $a_{2}$ bằng

A. 1053.

B. 243.

C. 324.

D. 351.

Xem đáp án

Ta có:

{(1 + 3 x)}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} C_{n}^{k} {(3 x)}^{k} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n}

.
Theo giả thiết: .

a_{1} = 27 \Leftrightarrow C_{n}^{1} 3^{1} = 27 \Leftrightarrow C_{n}^{1} = 9 \Leftrightarrow n = 9

Suy ra

a_{2} = C_{9}^{2} 3^{2} = 324

.

Đáp án C

Câu 6:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ biết $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105$ là

A. -3003.

B. -5005.

C. 5005.

D. 3003.

Xem đáp án

Ta có:

A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} - \frac{n!}{2! (n - 2)!} = 105

\Leftrightarrow \frac{1}{2} n (n - 1) = 105 \Leftrightarrow n^{2} - n - 210 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 15 \\ n = - 14 \end{array} \Rightarrow n = 15

Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là

T_{k + 1} = C_{15}^{k} . {(x^{2})}^{15 - k} . {(- \frac{1}{x})}^{k} = C_{15}^{k} . {(- 1)}^{k} . x^{30 - 3 k}

.
Số hạng không chứa x ứng với

30 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 10

.
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là

C_{15}^{10} . {(- 1)}^{10} = 3003

.

Đáp án D

Câu 7:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4 n + 6$ . Hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ của khai triển biểu thức $P (x) = {(x^{2} + \frac{3}{x})}^{n}, x \neq 0$ bằng

A. 18564.

B. 64152.

C. 192456.

D. 194265.

Xem đáp án

Với

n \geq 2

, ta có:

A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4 n + 6 \Leftrightarrow n (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2} + n + 4 n + 6

\Leftrightarrow n^{2} - 11 n - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = - 1 \\ n = 12 \end{array} \Rightarrow n = 12

Với n=12 ta có khai triển:

P (x) = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} . {(x^{2})}^{12 - k} . {(\frac{3}{x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {.3}^{k} . x^{24 - 3 k}

Số hạng chứa

x^{9}

ứng với

24 - 3 k = 9 \Leftrightarrow k = 5

Vậy hệ số cần tìm là

3^{5} C_{12}^{5} = 192456

Đáp án C

Câu 8:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5 C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{3}$ . Số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $P = {(\frac{n x^{2}}{14} - \frac{1}{x})}^{n}$ với $x \neq 0$ là

A. $- \frac{35}{16}$

B. $- \frac{16}{35}$

C. $- \frac{35}{16} x^{5}$

D. $- \frac{16}{35} x^{5}$

Xem đáp án

Điều kiện:

n \in ℕ, n \geq 3

.
Ta có

5 C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{3} \Leftrightarrow \frac{5. n!}{1! . (n - 1)!} = \frac{n!}{3! . (n - 3)!} \Leftrightarrow \frac{5}{(n - 3)! (n - 2) (n - 1)} = \frac{1}{6. (n - 3)!}

.

\Leftrightarrow n^{2} - 3 n - 28 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 7 \\ n = - 4 \end{array} \Rightarrow n = 7

Với n=7, ta có

P = {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x})}^{7}

Số hạng thứ k+1 trong khai triển là

T_{k + 1} = \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{7 - k}} . C_{7}^{k} . x^{14 - 3 k}

Số hạng chứa

x^{5}

ứng với

14 - 3 k = 5 \Leftrightarrow k = 3

Vậy số hạng chứa

x^{5}

trong khai triển là

\frac{{(- 1)}^{3}}{2^{4}} C_{7}^{3} x^{5} = - \frac{35}{16} x^{5}

Đáp án C

Câu 9:

Số hạng không chứa x trong khai triển của ${(x \sqrt{x} + \frac{1}{x^{4}})}^{n}$ với $x > 0$ nếu biết rằng $C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 44$ là

A. 165.

B. 238.

C. 485.

D. 525.

Xem đáp án

Với

n \geq 2

ta có:

C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 44 \Leftrightarrow \frac{n (n - 1)}{2} - n = 44 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 11 \\ n = - 8 \end{array} \Rightarrow n = 11

Với

n = 11

ta có khai triển:

{(x \sqrt{x} + \frac{1}{x^{4}})}^{11} = \sum_{k = 0}^{11} C_{11}^{k} . {(x \sqrt{x})}^{11 - k} . {(\frac{1}{x^{4}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{11} C_{11}^{k} . x^{\frac{33 - 11 k}{2}}

Số hạng không chứa x ứng với

\frac{33 - 11 k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 3

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là

C_{11}^{3} = 165

Đáp án A

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Nhị thức Niu-tơn có đáp án

Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương