Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên (S1 = 2; S2 = 2 + 3 = 5; S3 = 2 + 3 + 5 = 10; ...). Chứng minh rằng trong dãy số S1, S2, S3 ... không tồn tại hai số

33 11/07/2024

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_nlà tổng của n số nguyên tố đầu tiên (S₁ = 2; S₂ = 2 + 3 = 5; S₃ = 2 + 3 + 5 = 10; ...).

Chứng minh rằng trong dãy số S₁, S₂, S₃ ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.

Gọi p_n là số nguyên tố thứ n

Giả sử tồn tại m mà S_m-1 = k²; S_m = l²; k, l ∈ ℕ*

Vì S₂ = 5, S₃ = 10, S₄ = 17

Suy ra m > 4

Ta có: P_m = S_m – S_m-1 = l² – k² = (l – k)(l + k)

Vì p_m là số nguyên tố và k + l > 1 nên $\{\begin{cases} l - k = 1 \\ l + k = p_{m} \end{cases}$

Suy ra

p_{m} = 2 l - 1 = 2 \sqrt{S_{m}} - 1

Suy ra $S_{m} = {(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2}$ (1)

Do m > 4 nên

S_m ≤ (1 + 3 + 5 + 7 + ... + p_m) + 2 – 1 – 9

$\Leftrightarrow S_{m} \leq 1^{2} - 0^{2} + 2^{2} - 1^{2} + 3^{2} - 2^{2} + ... + [{(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2} - {(\frac{p_{m} - 1}{2})}^{2}] - 8$

$\Leftrightarrow S_{m} \leq {(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2} - 8 < {(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2}$ (mâu thuẫn với (1))

Vậy trong dãy số S₁, S₂, S₃ ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.

Xem tất cả