Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình s = t³ – 4t² + 4t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 3 giây và t = 5 giây.

Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t₀ bất kì là

v(t₀) = s'(t₀) = $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{t^3-4t^2+4t-\left(t_0^3-4t_0^2+4t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t^3-t_0^3\right)-4\left(t^2-t_0^2\right)+4\left(t-t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t-t_0\right)\left(t^2+t{t}_0+t_0^2\right)-4\left(t-t_0\right)\left(t+t_0\right)+4\left(t-t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t-t_0\right)\left[t^2+t{t}_0+t_0^2-4\left(t+t_0\right)+4\right]}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\left[t^2+t{t}_0+t_0^2-4\left(t+t_0\right)+4\right]$$=3t_0^2-8t_0+4$

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3×3² − 8×3 + 4 = 7 m/s.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là v(5) = 3×5² − 8×5 + 4 = 39 m/s.