Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn $\left(C_1\right)$  và $\left(C_2\right)$  lần lượt có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=1$  và ${\left(x+1\right)}^2+y^2=1$ . Biết đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$  đi qua tâm của $\left(C_1\right)$ , đi qua tâm của $\left(C_2\right)$  và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả $\left(C_1\right)$  và $\left(C_2\right)$ . Tổng $a+b+c$  là

Hướng dẫn giải

Đường tròn $\left(C_1\right)$  có tâm $I_1\left(1;2\right)$ ; $R_1=1$   và $\left(C_2\right)$  có tâm $I_2\left(-1;0\right)$ ; $R_2=1$ .

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là $ac-b\ne 0$.

Gọi (C) là đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$ .

Khi đó ta có các đường tiệm cận (C) là  $x=-c$và $y=a$ .

Ta có $I_1,I_2\in \left(C\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{a+b}{c+1}=2\\ \frac{-a+b}{c-1}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c\ne \pm 1\\ a=b\\ a=c+1\end{array}\right.$ .

Đường thẳng $x=-c$  tiếp xúc với cả $\left(C_1\right)$  và $\left(C_2\right)$  nên $\left\{\begin{array}{l}\left|c+1\right|=1\\ \left|c-1\right|=1\end{array}\right.\Rightarrow c=0$

$\Rightarrow a=b=1$

Khi đó tiệm cận ngang của (C)   là y=1 tiếp xúc với cả $\left(C_1\right)$  , $\left(C_2\right)$  thỏa mãn bài toán.

Vậy $a=b=1;c=0\Rightarrow a+b+c=2$ .

Chọn C.