Đường tròn (C) có tâm I(1;-4) và bán kính $\text{R}=\sqrt{1^2+{(-4)}^2-4}=\sqrt{13}$

Khoảng cách từ I đến $△$ là $\text{d}(\text{I},\Delta )=\frac{|1-(-4)+1|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}=3\sqrt{2}>\text{R}$

=> Đường thẳng $△$ và đường tròn (C) không có điểm chung.

Diện tích tam giác IAB là $\text{S}=\frac{1}{2}\text{IA}.\text{IB}.\sin \widehat{\text{AIB}}\le \frac{13}{2}$ nên diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{13}{2}$ khi $\sin \widehat{\text{AIB}}=1\iff \widehat{\text{AIB}}={90}^{°}\Rightarrow \text{MAIB}$ là hình vuông $\Rightarrow \text{IM}=\text{R}.\sqrt{2}=\sqrt{26}$

Do $\text{M}\in \Delta \Rightarrow \text{M}(\text{a};\text{a}+1)$

$\text{IM}=\sqrt{26}\iff \sqrt{{(\text{a}-1)}^2+{(\text{a}+1+4)}^2}=\sqrt{26}\iff 2{\text{a}}^2+8\text{a}=0\iff \left[\begin{array}{l}a=0\\ \text{a}=-4\end{array}\right.$