Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C; trực tâm tam giác ABC là H(1;2;3). Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. $x+2y+3z-14=0$.

Đáp án A

Giả sử $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right),\left(a,b,c\ne 0\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(P\right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\\ \overrightarrow{HA}=\left(a-1;-2;-3\right);\overrightarrow{HB}=\left(-1;b-2;-3\right)\\ \overrightarrow{CB}=\left(0;b;-c\right);\overrightarrow{AC}=\left(-a;0;c\right)\end{array}\right.$

H là trực tâm tam giác $ABC\iff \left\{\begin{array}{l}H\in \left(P\right)\\ \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\\ \left(a-1\right).0-2.b-3.\left(-c\right)=0\\ -1.\left(-a\right)+\left(b-2\right).0-3.c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\\ b=\frac{3}{2}c\\ a=3c\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3c}+\frac{2}{\frac{3}{2}c}+\frac{3}{c}=1\\ b=\frac{3}{2}c\\ a=3c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{14}{3c}=1\\ b=\frac{3}{2}c\\ a=3c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=14\\ b=7\\ c=\frac{14}{3}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(P\right):\frac{x}{14}+\frac{y}{7}+\frac{z}{\frac{14}{3}}=1\iff x+2y+3z-14=0.$