Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC , biết $A\left(1;1;1\right),B\left(5;1;-2\right),C\left(7;9;1\right)$. Tính độ dài đường phân giác trong AD của góc

A. $\frac{3\sqrt{74}}{2}$.

Đáp án D

$A\left(1;1;1\right),B\left(5;1;-2\right),C\left(7;9;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(4;0;-3\right),\overrightarrow{AC}=\left(6;8;0\right)$$\Rightarrow AB=\mathrm{5,}AC=10$

Tam giác ABC có AD là phân giác của góc A $\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},$ D nằm giữa B và C.

$\iff 2\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{CD}\iff \left\{\begin{array}{l}2.\left(x_D-5\right)=-x_D+7\\ 2.\left(y_D-1\right)=-y_D+9\\ 2.\left(z_D+2\right)=-z_D+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=\frac{17}{3}\\ y_D=\frac{11}{3}\\ z_D=-1\end{array}\right.\Rightarrow D\left(\frac{17}{3};\frac{11}{3};-1\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\left(\frac{14}{3};\frac{8}{3};-2\right)\Rightarrow AD=\sqrt{{\left(\frac{14}{3}\right)}^2+{\left(\frac{8}{3}\right)}^2+2^2}=\frac{2}{3}\sqrt{74}$