Mặt câu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính $\text{R}=\sqrt{6}$. Bán kính đường tròn (C) $\text{r}=\sqrt{{\text{R}}^2-{\text{d}}^2}=\sqrt{6-{\text{d}}^2}$ với $\text{d}=\text{d}(\text{I},(\text{P}\left)\right)$. Chu vi (C) nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất $\iff \text{d}$ lớn nhất. Ta có $\text{d}\le \text{IM}\Rightarrow {\text{d}}_{\max }=\text{IM}\iff \left(\text{P}\right)$ đi qua M và vuông góc IM

(P) đi qua M(0;1;0), và nhận $\overrightarrow{\text{IM}}=(1;-1;-1)$ làm VTPT

$\Rightarrow \left(P\right):x-(y-1)-z=0\iff x-y-z+1=0$. Ta có tọa độ N thỏa hệ 

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2+2x-4y-2z=0\\ x-y-z+1=0\\ x^2+y^2+z^2=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4y-2z=-6\\ x-y-z+1=0\\ x^2+y^2+z^2=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=2\\ x=y+z-1\\ x^2+y^2+z^2=6\end{array}\Rightarrow y=2\right.\right.\right.$