Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;0;0), B(0;2;0), C(1;1;3). H x0 y0 z0 là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó 9x0 y0 z0 bằng

Trả lời

Đường thẳng BC có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{\text{BC}}=(1;-1;3)$

Nên phương trình đường thẳng $BC:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2-t\\ z=3t\end{array}(t\in ℝ)\right.$

Gọi $\text{H}(\text{t};2-\text{t};3\text{t})\in \text{BC}$. Khi đó $\overrightarrow{\text{AH}}=(\text{t}-2;2-\text{t};3\text{t})$.Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên $\overrightarrow{\text{AH}}\perp \overrightarrow{\text{BC}}\iff \overrightarrow{\text{AH}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=0\iff \text{t}-2-2+\text{t}+9\text{t}=0\iff \text{t}=\frac{4}{11}$

$\Rightarrow \text{H}\left(\frac{4}{11};\frac{18}{11};\frac{12}{11}\right)\Rightarrow 9{\text{x}}_0+{\text{y}}_0+{\text{z}}_0=\frac{66}{11}=6$