Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=4$có tâm I và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+2=0.$Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho đoạn thẳng IM ngắn nhất

A. (1;-2;2)

Đáp án C

$\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=4$có tâm I(1,2,0)

M thuộc (P) sao cho đoạn thẳng IM ngắn nhất khi và chỉ khi, M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với $\left(P\right)\Rightarrow d$nhận$\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\left(2;-1;2\right)$làm 1 VTCP

Phương trình đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-t\\ z=2t\end{array}\right..M\in d\Rightarrow M\left(1+2t;-2-t;2t\right)$

$M\in \left(P\right)\Rightarrow 2\left(1+2t\right)-\left(-2-t\right)+2.2t+2=0\iff 9t+6=0\iff t=-\frac{2}{3}\Rightarrow M\left(-\frac{1}{3};-\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right).$