Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm $M(1;0;2),N(1;-1;-1)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z+2=0.$Một mặt cầu đi qua M, N, tiếp xúc mặt phẳng (P) tại điểm E. Biết E luôn thuộc một đường tròn cố định, tìm bán kính của đường tròn đó.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (P). Khi đó IE là tiếp tuyến của mặt cầu (S) đã cho và IM.IN=IE2

Ta có $M(1;0;2),N(1;-1;-1)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(0;-1;-3)$

Phương trình đường thẳng MN là: $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\\ z=2+3t\end{array}\right.$

Giả sử $I(1;t;2+3t),I\in \left(P\right)\Rightarrow 1+2t-2-3t+2=0\iff t=1\Rightarrow I(1;1;5)$

$\Rightarrow IM=\sqrt{0+1+9}=\sqrt{10},IN=\sqrt{0+4+36}=2\sqrt{10},I{E}_{}^2=IM.IN=\sqrt{10}.2\sqrt{10}=20\Rightarrow IE=2\sqrt{5}$

Vậy, E luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính $R=2\sqrt{5}$

Chọn: D