Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(3,2,1) .Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1.$

Đáp án C

Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại$A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$ có phương trình theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\mathrm{1,}\left(a,b,c\ne 0\right).$

$\begin{array}{l}M\left(3;2;1\right)\in \left(P\right)\Rightarrow \frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1\left(1\right)\\ \overrightarrow{AM}=\left(3-a;2;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(0;-b;c\right)\\ \overrightarrow{BM}=\left(3;2-b;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(-a;0;c\right)\end{array}$

M là trực tâm tam $ABC\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left(3-a\right).0+2.\left(-b\right)+1.c=0\\ 3.\left(-a\right)+\left(2-b\right).0+1.c=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}-2b+c=0\\ -3a+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=\frac{1}{2}c\\ a=\frac{1}{3}c\end{array}\right.\right.$

Thay vào (1), ta có: $\frac{3}{\frac{1}{3}c}+\frac{2}{\frac{1}{2}c}+\frac{1}{c}=1\iff \frac{14}{c}=1\iff c=14\Rightarrow a=\frac{14}{3},b=7$

$\Rightarrow \left(P\right):\frac{x}{\frac{14}{3}}+\frac{y}{7}+\frac{z}{14}=1\iff \frac{3x}{14}+\frac{y}{7}+\frac{z}{14}=1\iff 3x+2y+z-14=0$