Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C(-2;3;1) và đường thẳng $\text{d}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{2}$. Tìm điểm M thuộc d để thể tích V của tứ diện MABC bằng 3.

Ta có $\overrightarrow{\text{AB}}=(2;1;2);\overrightarrow{\text{AC}}=(-2;2;1)$

Do $[\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}]=(-3;-6;6)$ nên $S_{△\text{ABC}}=\frac{1}{2}\left|\right[\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}\left]\right|=\frac{9}{2}$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) thì $\overrightarrow{n}=(1;2;-2)\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng (ABC) là $\text{x}+2\text{y}-2\text{z}-2=0$. Gọi $\text{M}(1+2\text{t};-2-\text{t};3+2\text{t})\in \text{d}\Rightarrow \text{d}(\text{M},(\text{ABC}\left)\right)=\frac{|4\text{t}+11|}{3}$

Do thể tích V của tứ diện MABC bằng 3 nên $\frac{1}{3}.\frac{9}{2}.\frac{|4\text{t}+11|}{3}=3\iff |4\text{t}+11|=6\iff \left[\begin{array}{l}\text{t}=-\frac{5}{4}\\ \text{t}=-\frac{17}{4}\end{array}\right.$