Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;0), B(0;3) và C(-3;-5). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho biểu thức $\text{P}=|2\overrightarrow{\text{MA}}-3\overrightarrow{\text{MB}}+2\overrightarrow{\text{MC}}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $2\overrightarrow{\text{MA}}-3\overrightarrow{\text{MB}}+2\overrightarrow{\text{MC}}=2(\overrightarrow{\text{MI}}+\overrightarrow{\text{IA}})-3(\overrightarrow{\text{MI}}+\overrightarrow{\text{IB}})+2(\overrightarrow{\text{MI}}+\overrightarrow{\text{IC}}),\forall \text{I}$

Chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{\text{IA}}-3\overrightarrow{\text{IB}}+2\overrightarrow{\text{IC}}=\overrightarrow{0}$. (*)

Gọi I(x;y), từ (*) ta có $\left\{\begin{array}{l}2(1-x)-3(0-x)+2(-3-x)=0\\ 2(0-y)-3(3-y)+2(-5-y)=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-19\end{array}\Rightarrow I(-4;-19)\right.\right.$.

Khi đó $\text{P}=\left|2\overrightarrow{\text{MA}}-3\overrightarrow{\text{MB}}+2\overrightarrow{\text{MC}}\right|=\left|\overrightarrow{\text{MI}}\right|=\text{MI}$.