Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-mx-m+5}$  không có đường tiệm cận đứng

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x^2-mx-m+5\ne 0$ .

Đặt $f\left(x\right)=x^2-3x+2,g\left(x\right)=x^2-mx-m+5$ .

Ta có $f\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}\right.$  là nghiệm đơn của tử thức.

Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Phương trình $g\left(x\right)=0$  vô nghiệm $\Delta =m^2+4m-20<0\iff -2-2\sqrt{6}<m<-2+2\sqrt{6}$ .

Do $m\in \mathbb{Z}$  nên $m\in \left\{-6;-5;\mathrm{...};2\right\}$

Trường hợp 2.$f\left(x\right)=0$  nhận đồng thời $x=1$  và $x=2$  làm nghiệm $\iff \left\{\begin{array}{l}1-m-m+5=0\\ 4-2m-m+5=0\end{array}\right.\iff m=3$ .

Thử lại, ta có $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-3x+2}=1$ , khi đó đồ thị hàm số $y=1$  không có tiệm cận $\Rightarrow$  loại.

Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là $m\in \left\{-6;-5;\mathrm{...};2;3\right\}$  nên tổng bằng   -15.

Chọn D.