Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến từng đỉnh (khác A) trong đồ thị có trọng số ở Hình 19

Bài 5 trang 66 Chuyên đề Toán 11: Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến từng đỉnh (khác A) trong đồ thị có trọng số ở Hình 19.

Trả lời

– Gán nhãn cho A bằng 0 (tức là, n_A = 0), các đỉnh khác bằng ∞. Khoanh tròn đỉnh A.

– Tại các đỉnh kề với A, gồm E, B, D, F, ta có:

⦁ n_E = n_A + w_AE = 0 + 3 = 3.Vì 3 < ∞ nên ta đổi nhãn của E thành 3.

⦁ n_B = n_A + w_AB = 0 + 7 = 7.Vì 7 < ∞ nên ta đổi nhãn của B thành 7.

⦁ n_D = n_A + w_AD = 0 + 6 = 6.Vì 6 < ∞ nên ta đổi nhãn của D thành 6.

⦁ n_F = n_A + w_AF = 0 + 12 = 12.Vì 12 < ∞ nên ta đổi nhãn của F thành 12.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là E nên ta khoanh tròn đỉnh E (đỉnh gần A nhất, chỉ tính các đỉnh khác A).

Ta có n_E = 3 = n_A + w_AE = w_AE = l_AE.

Vì vậy AE là đường đi ngắn nhất từ A đến E, với độ dài bằng 3.

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh E chỉ có B, ta có:

n_B = n_E + w_EB = 3 + 2 = 5.Vì 5 < 7 (7 là nhãn hiện tại của B) nên ta đổi nhãn của B thành 5.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là B nên ta khoanh tròn đỉnh B (đỉnh gần A thứ hai).

Ta có n_B = 5 = n_E + w_EB = n_A + w_AE + w_EB = w_AE + w_EB = l_AEB.

Vì vậy AEB là đường đi ngắn nhất từ A đến B, với độ dài bằng 5.

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh B gồm F, C, ta có:

⦁ n_F = n_B + w_BF = 5 + 8 = 13.Vì 13 > 12 (12 là nhãn hiện tại của F) nên ta giữ nguyên nhãn của F là 12.

⦁ n_C = n_B + w_BC = 5 + 4 = 9.Vì 9 < ∞ nên ta đổi nhãn của C thành 9.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là D nên ta khoanh tròn đỉnh D (đỉnh gần A thứ ba).

Ta có n_D = 6 = n_A + w_AD = w_AD = l_AD.

Vì vậy AD là đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến D, với độ dài bằng 6.

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh D gồm đỉnh F, C, ta có:

⦁ n_F = n_D + w_DF = 6 + 5 = 11.Vì 11 < 12 (12 là nhãn hiện tại của F) nên ta đổi nhãn của F thành 11.

⦁ n_C = n_D + w_DC = 6 + 4 = 10.Vì 10 > 9 (9 là nhãn hiện tại của C) nên ta giữ nguyên nhãn của C là 9.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là đỉnh C nên ta khoanh tròn đỉnh C (đỉnh gần A thứ tư).

Ta có n_C = 9 = n_B + w_BC

= n_E + w_EB + w_BC

= n_A + w_AE + w_EB + w_BC

= w_AE + w_EB + w_BC

= l_AEBC.

Vì vậy AEBC là đường đi ngắn nhất từ A đến C, với độ dài bằng 9.

– Lúc này, ta thấy chỉ còn đỉnh F chưa được khoanh tròn nên ta khoanh tròn đỉnh F (đỉnh gần A thứ năm).

Ta có n_F = 11 = n_D + w_DF = n_A + w_AD + w_DF = w_AD + w_DF = l_ADF.

Vì vậy ADF là đường đi ngắn nhất từ A đến F, với độ dài bằng 11.

Vậy đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến các đỉnh B, C, D, E, F lần lượt là AEB, AEBC, AD, AE, ADF.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đồ thị

Bài 2: Đường đi Euler và đường đi Hamilton

Bài 3: Bài toán tìm đường đi ngắn nhất

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 1: Hình biểu diễn của một hình, khối

Bài 2: Bản vẽ kĩ thuật