Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x+\sqrt{m{x}^2+1}$  có tiệm cận ngang là

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. Với m=0  thì hàm số là $y=x+1$  nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó $m=0$  không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 2. Với $m<0$  thì hàm số có tập xác định là $D=\left[-\frac{1}{\sqrt{-m}};\frac{1}{\sqrt{-m}}\right]$  nên không tồn tại  $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y\Rightarrow$  đồ thị không có tiệm cận ngang.

Do đó $m<0$  không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 3. Với $m>0$  thì hàm số có tập xác định là $D=ℝ$ .

Xét $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+\sqrt{m{x}^2+1}\right)=+\infty$ .

Xét $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\sqrt{m{x}^2+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(1-m\right)x^2-1}{x-\sqrt{m{x}^2+1}}$ .

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì $1-m=0\iff m=1$ .

Chọn C.