Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1-\sqrt{x^2+3x}}{x^2+\left(m+1\right)x-m-2}$  có đúng hai đường tiệm cận là

Hướng dẫn giải

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+3x\ge 0\\ x^2+\left(m+1\right)x-m-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le -3;x\ge 0\\ x\ne 1;x\ne -m-2\end{array}\right.$ .

Tập xác định $D=\left(-\infty ;-3\right]\cup \left[0;+\infty \right)\backslash \left\{1;-m-2\right\}$

Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=0,\forall m\in D\Rightarrow y=0$  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng.

- Với m=-3 thì $D=\left(-\infty ;-3\right]\cup \left[0;+\infty \right)\backslash \left\{1\right\}$ .

Khi đó, ta có hàm số $y=\frac{x+1-\sqrt{x^2+3x}}{x^2-2x+1}=\frac{-1}{\left(x-1\right)\left(x+1+\sqrt{x^2+3x}\right)}$ .

Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=-\infty$  và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$  nên $x=1$  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $\Rightarrow m=-3$  thỏa mãn.

- Với $m\ne -3$ , ta có $\underset{x\to 1}{\lim }y=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1-\sqrt{x^2+3x}}{x^2+\left(m+1\right)x-m-2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{\left(x+m+2\right)\left(x+1+\sqrt{x^2+3x}\right)}=\frac{-1}{4\left(m+3\right)}$

$\Rightarrow x=1$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Để đường $x=-m-2$  là tiệm cận đứng thì $\left[\begin{array}{l}-m-2\le -3\\ -m-2\ge 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m\le -2\end{array}\right.$ .

Khi đó $\underset{x\to {(-m-2)}^{+}}{\lim }y=\pm \infty$  (tùy theo m) nên $x=-m-2$  là tiệm cận đứng khi $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m\le -2\end{array}\right.\\ m\ne -3\end{array}\right.$ .

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có $\left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m\le -2\end{array}\right.$ .

Chọn D.