Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng M1 và M2 để sản xuất hai loại sản phẩm A và B theo đơn đặt hàng

Bài 2.28 trang 27 SBT Toán 10 Tập 1: Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng M1 và M2 để sản xuất hai loại sản phẩm A và B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại A thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là 2 triệu đồng. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại B thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A, người ta phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B, người ta phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm này. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ một ngày và máy M2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu?

Trả lời

Gọi số sản phẩm loại A và loại B sản xuất ra lần lượt là x tấn và y tấn (x, y ≥ 0).

Để sản xuất x tấn sản phẩm loại A thì máy M₁ cần hoạt động trong 3x giờ, máy M₂ cần hoạt động trong x giờ.

Để sản xuất y tấn sản phẩm loại B thì máy M₁ cần hoạt động y giờ, máy M₂ cần hoạt động trong y giờ.

Do máy M₁ làm việc không quá 6 giờ một ngày và máy M₂ làm việc không quá 4 giờ một ngày nên 3x + y ≤ 6; x + y ≤ 4.

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3\text{x}+y\le 6\\ x+y\le 4\end{array}\right.$

F(x; y) = 2x + 1,6y (triệu đồng).

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₁ và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₂ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₃: 3x + y = 6 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (2; 0) và (1; 3).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₃ và thay vào biểu thức 3x + y ta được 4 < 6.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₄: x + y = 4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (4; 0) và (0; 4).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₄ và thay vào biểu thức x + y ta được 2 < 4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác với các đỉnh (0; 0), (0; 4), (1; 3), (2; 0).

Ta có:

F(0; 0) = 2 . 0 + 1,6 . 0 = 0;

F(0; 4) = 2 . 0 + 1,6 . 4 = 6,4;

F(1; 3) = 2 . 1 + 1,6 . 3 = 6,8;

F(2; 0) = 2 . 2 + 1,6 . 0 = 4.

Khi đó giá trị của F(x; y) lớn nhất bằng 6,8.

Vậy số tiền lãi lớn nhất một ngày mà phân xưởng có thể đạt được là 6,8 triệu đồng.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3