Đáp án C

Khối nón có bán kính đáy r, chiều cao h và đường sinh l thì có diện tích xung quanh

$S_{xq}=\pi rl=6\pi \iff r.l=6\pi$

Và diện tích toàn phần $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2=6\pi +\pi r^2=10\pi \iff \pi r^2=4\pi \Rightarrow r=2.$

Mà $r.l=6\left(cmt\right)\Rightarrow l=\frac{6}{2}=3$, từ đó chiều cao $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}.$

Thể tích khối nón $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.\sqrt{5}=\frac{4\pi \sqrt{5}}{3}.$