Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là V, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ bằng V và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu?

A. \(r = \sqrt[3]{{\frac{{V\pi }}{2}}}\)

B. \(r = \sqrt[3]{V}\)

C. \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

D. \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{2}}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \({S_{{\rm{day }}}} = \pi {r^2};{S_{xq}} = 2\pi rh\)

Thể tích khối trụ là: \(V = {S_{{\rm{day }}}}.h \Rightarrow h = \frac{V}{{{S_{day}}}} = \frac{V}{{\pi {r^2}}}\)

Ta có: \({S_{tp}} = 2{S_{day}} + {S_{xq}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot \frac{V}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\)

Xét hàm số \(f(r) = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\), có :

\(f'(r) = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}}\)

\(f'(r) = 0 \Leftrightarrow 4\pi r = \frac{{2V}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

Ta có bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

Do đó khi \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) thì diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất

Vậy ta chọn đáp án C.