Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.$.

Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

$\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\\ y=2x-m-5\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-2mx+m^2+5m=3m-1\\ y=2x-m-5\end{array}\right.$

⇔  $\left\{\begin{array}{l}\left(m+1\right)x={\left(m+1\right)}^2\left(1\right)\\ y=2x-m-5\left(2\right)\end{array}\right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{m+1}=m+1$ thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

S = x² + y²

= (m + 1)² + (m – 3)² 

= m² + 2m + 1 + m² − 6m + 9

= 2m² – 4m + 10

= 2(m² – 2m + 1) + 8

= 2(m – 1)² + 8

Vì (m – 1)² ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)² + 8 ≥ 8

Hay S ≥ 8; ∀m.

Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.