Hướng dẫn giải

Ta có: $y=m{x}^2-2\left(m-3\right)x+m-2=m\left(x^2-2x+1\right)+6x-2$

$\iff y=m{\left(x-1\right)}^2+6x-2$. 

Xét đường thẳng $d:y=6x-2$  thì hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}m{\left(x-1\right)}^2+6x-2=6x-2\\ 2m\left(x-1\right)+6=6\end{array}\right.$luôn có nghiệm $x=1$với mọi $m\ne 0$.

Vậy $\left(P_m\right)$  luôn tiếp xúc với đường thẳng $d:y=6x-2$ .

Đường thẳng d đi qua điểm $B\left(0;-2\right)$ .

Chọn B.