Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố

Bài 5.25 trang 90 Toán 10 Tập 1: Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:

Đồng bằng sông Hồng: 187  34   35   46   54    57   37   39   23   57   27.

Đồng bằng sông Cửu Long: 33   34   33   29   24   39   42   24   23   19   24   15   26.

(Theo Tổng cục Thống kê)

a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.

b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?

c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

Trả lời

a)

∙ Đồng bằng sông Hồng: 187  34  35   46   54   57   37   39   23   57   27.

Ta có: n = 11.

Số trung bình: 

$\overline{X}=\frac{187 +34 +35 +46 +54 +57 +37 +39 +23 +57 +27}{11}\approx 54,18.$

Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được:

23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 187.

Vì n = 11 là số lẻ nên trung vị Q₂ = 39.

Nửa số liệu bên trái có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là: Q₁ = 34.

Nửa số liệu bên phải có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là: Q₃ = 57.

Khoảng tứ phân vị là:

Δ_Q = Q₃ – Q₁ = 57 – 34 = 23.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 187 và giá trị nhỏ nhất là 23. Khi đó khoảng biến thiên là: R = 187 – 23 = 164.

Theo quan sát số liệu, ta thấy giá trị 57 có tần số xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 57.

Ta có bảng sau:

Phương sai: $s^2\approx \frac{20735,68}{11}\approx 1885,06$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{1885,06}\approx 43,42$

∙ Đồng bằng sông Cửu Long: 33   34   33   29   24   39   42   24   23   19   24   15   26.

Số trung bình của mẫu số liệu:

$\overline{X^{\text{'}}}=\frac{33 +34 +33 +29 +24 +39 +42 +24 +23 +19 +24 +15 +26}{13}\approx 28,08.$ 

Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được:

15; 19; 23; 24; 24; 24; 26; 29; 33; 33; 34; 39; 42.

Vì n' = 13 là số lẻ nên trung vị Q'₂ = 26.

Nửa số liệu bên trái có 6 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là: Q'₁ = (23 + 24):2 = 23,5.

Nửa số liệu bên phải có 6 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là: Q'₃ = (33 + 34):2 = 33,5.

Khoảng tứ phân vị là:

Δ'_Q = Q'₃ – Q'₁ = 33,5 – 23,5 = 10.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 42 và giá trị nhỏ nhất là 15. Khi đó khoảng biến thiên là: R' = 42 – 15 = 27.

Theo quan sát số liệu, ta thấy giá trị 24 có tần số xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 24.

Ta có bảng sau:

Phương sai: ${s^{\text{'}}}^2\approx$$\frac{730,93}{13}\approx 56,23$.

Độ lệch chuẩn: $s^{\text{'}}=\sqrt{{s^{\text{'}}}^2}\approx$$\sqrt{56,23}\approx 7,5$.

b) Số trung bình sai khác vì ở Đồng bằng sông Hồng thì có giá trị bất thường là 187 (cao hơn hẳn so với các giá trị còn lại), còn ở Đồng bằng sông Cửu Long thì không có giá trị bất thường.

Chính giá trị bất thường làm nên sự sai khác đó, còn trung vị không bị ảnh hưởng đến giá trị bất thường nên trung vị ở hai mẫu số liệu không khác nhau quá nhiều.

c) Giá trị bất thường ảnh hưởng đến khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn, còn với khoảng tứ phân vị thì không (khoảng tứ phân vị đo 50% giá trị ở chính giữa).