Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)x^2+2mx+1$  tiếp xúc với đường thẳng $y=1$ . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)x^2+2mx+1=1\left(1\right)\\ x^2-\left(m+2\right)x+2m=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (2) ta được $\left[\begin{array}{l}x=m\\ x=2\end{array}\right.$  .

+ Với $x=m$ , thay vào (1) ta được  $-\frac{m^3}{6}+m^2=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=6\end{array}\right.$.

+ Với $x=2$  , thay vào (1), ta được $m=\frac{2}{3}$ .

Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng $y=1$  là $S=\left\{0;6;\frac{2}{3}\right\}$  nên tổng các phần tử trong S bằng $\frac{20}{3}$ .

Chọn B.