Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ($C_m$) của hàm số $y=x^3-4m{x}^2+7mx-3m$  tiếp xúc với parabol $\left(P\right):y=x^2-x+1$ . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

Hướng dẫn giải:

Để ($C_m$ ) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3-4m{x}^2+7mx-3m=x^2-x+1\\ 3x^2-8mx+7m=2x-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^3-\left(4m+1\right)x^2+\left(7m+1\right)x-3m-1=0\left(1\right)\\ 3x^2-2\left(4m+1\right)x+7m+1=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải (1), ta có (1) $\iff \left(x-1\right)\left(x^2-4mx+3m+1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-4mx+3m+1=0\end{array}\right.$

+ Với $x=1$  thay vào (2) được $m=2$

+ Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4mx+3m+1=0\left(3\right)\\ 3x^2-2\left(4m+1\right)x+7m+1=0\end{array}\right.\Rightarrow \left(2m-1\right)x=m+1\left(4\right)$ .

• Nếu $m=\frac{1}{2}$  thì (4) vô nghiệm.

• Nếu $m\ne \frac{1}{2}$  thì (4) $\iff x=\frac{m+1}{2m-1}$ .                   

Thay $x=\frac{m+1}{2m-1}$  vào (3) ta được ${\left(\frac{m+1}{2m-1}\right)}^2-4m\left(\frac{m+1}{2m-1}\right)+3m+1=0$

$\iff 4m^3-11m^2+5m+2=0\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-\frac{1}{4}\\ m=1\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện).

Vậy $S=\left\{2;-\frac{1}{4};1\right\}$  nên tổng các phần tử trong S bằng $\frac{11}{4}$ .

Chọn A.