Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên R: $\text{f}\left(\text{x}\right)=\frac{1}{5} {\text{m}}^2{\text{x}}^5-\frac{1}{3} {\text{mx}}^3+10{\text{x}}^2-\left({\text{m}}^2-\text{m}-20\right)\text{x}$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

Ta có ${\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)={\text{m}}^2{\text{x}}^4-{\text{mx}}^2+6\text{x}-\left({\text{m}}^2-\text{m}-6\right)={\text{m}}^2\left({\text{x}}^4-1\right)-\text{m}\left({\text{x}}^2-1\right)+6(\text{x}+1)$

$=(x+1)\left[\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{m^2(x-1)\left(x^2+1\right)-m(x-1)+6}}\right]=(x+1).g\left(x\right).$

Hàm số đồng biến trên $ℝ\iff {\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)\ge 0,\forall \text{x}\in ℝ$ suy ra g(x) = 0 có nghiệm x = -1.

Do đó: $\text{g}(-1)=0\iff -4 {\text{m}}^2+2 \text{m}+6=0\iff \left[\begin{array}{l}\text{m}=-1\\ \text{m}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$.

Với m = -1 thì ${\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)={(\text{x}+1)}^2\left({\text{x}}^2-2\text{x}+4\right)\ge 0,\forall \text{x}\in ℝ\Rightarrow \text{m}=-1$ thỏa mãn.

Với $\text{m}=\frac{3}{2}$ thì ${\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)=\frac{3}{4}{(\text{x}+1)}^2\left(3{\text{x}}^2-6\text{x}+7\right)\ge 0,\forall \text{x}\in ℝ\Rightarrow \text{m}=\frac{3}{2}$ thỏa mãn.