Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m+1)x^2+4x+7$ nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng $2\sqrt{5}$. Tính tổng các phần tử của S.

Chọn C

Ta có $y^{\text{'}}=x^2+2(m+1)x+4$

y' = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thòa mãn $\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{5}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ {(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=20\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{(m+1)}^2-4>0\\ 4{(m+1)}^2-16=20\end{array}\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-3\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m=2\left(tm\right)\\ m=-4\left(tm\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\right.\right.$

=>Tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn bằng -2 .