Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số $y=x^4-3x^2+2$  và có hoành độ a . Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A và diện tích tam giác OBC bằng $2\sqrt{3}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3-6x;y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}\right.$ .

$y^{\text{'}\text{'}}=12x^2-6;y^{\text{'}\text{'}}=0\iff x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm nữa thì $\left\{\begin{array}{l}-\frac{\sqrt{6}}{2}<a<\frac{\sqrt{6}}{2}\\ a\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow a\in \left\{-1;0;1\right\}$

+ Với $a=-1\Rightarrow A\left(-1;0\right)$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến là $y=2\left(x+1\right)$ .

Xét phương trình $x^4-3x^2+2=2\left(x+1\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=2\end{array}\right.$  nên $B\left(0;2\right),C\left(2;6\right)\Rightarrow S_{\Delta OBC}=2$  (loại).

+ Với $a=0\Rightarrow A\left(0;2\right)$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y=2  nên $B\left(-\sqrt{3};2\right),C\left(\sqrt{3};2\right)\Rightarrow S_{\Delta OBC}=2\sqrt{3}$  (thỏa mãn).

+ Với $a=1\Rightarrow A\left(1;0\right)$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến là $y=-2\left(x-1\right)$  nên $B\left(0;2\right),C\left(-2;6\right)\Rightarrow S_{\Delta OBC}=2$(loại).

Vậy $a=0$ .

Chọn A.