Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x+2}$  chắn hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy.

Vì  vuông cân tại O nên $OA=OB$ .

Do đó $\left|k\right|=\tan \widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=1\iff k=\pm 1$  .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

Xét phương trình $\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}=-1$  (vô nghiệm).

Xét phương trình $\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}=1\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}\right.$ .

+ Với $x=-1$  thì $y=1$ . Phương trình tiếp tuyến là $y=\left(x+1\right)+1=x+2$ .

+ Với $x=-3$  thì $y=3$ . Phương trình tiếp tuyến là $y=\left(x+3\right)+3=x+6$ .

Chọn A.