Hướng dẫn giải:

Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong $\left(C\right):y=f\left(x\right)$  và $\left(C^{\text{'}}\right):y=g\left(x\right)$  là hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}\right.$  có nghiệm.

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+1>0,\forall x\in ℝ$  nên các phương án B, C bị loại.

Xét phương án A. $y=x+1$ . Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x+1=x+1\\ 3x^2+1=1\end{array}\right.\iff x=0$  .

Vậy đường thẳng $y=x+1$  tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

Chọn A.