Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx, y = 0, x = $\frac{1}{e}$ và x = e bằng

Diện tích hình phẳng đã cho bằng $\text{S}={\int }_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}}\left|\ln x\right|\text{d}x=-{\int }_{\frac{1}{\text{e}}}^1\ln x \text{d}x+{\int }_1^{\text{e}}\ln x \text{d}x=-\text{A}+\text{B}$

Tính $\text{A}={\int }_{\frac{1}{\text{e}}}^1\ln xdx$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=x\end{array}\right.$

Khi đó $\text{A}={\left.\text{x}\ln \text{x}\right|}_{\frac{1}{\text{e}}}^1-{\int }_{\frac{1}{\text{e}}}^1\text{dx}=\frac{1}{\text{e}}-{\left.\text{x}\right|}_{\frac{1}{\text{e}}}^1=\frac{1}{\text{e}}-1+\frac{1}{\text{e}}=\frac{2}{\text{e}}-1$