Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn ${\log }_{11}(3x+4y)={\log }_4\left(x^2+y^2\right)$?

Đặt ${\log }_{11}(3x+4y)={\log }_4\left(x^2+y^2\right)=t\iff \left\{\begin{array}{l}3x+4y={11}^t\\ x^2+y^2=4^t\end{array}\right.$

Hệ có nghiệm <=> đường thẳng $\Delta :3\text{x}+4\text{y}={11}^{\text{t}}$ và đường tròn $\left(\text{C}\right):{\text{x}}^2+{\text{y}}^2=4^{\text{t}}$ có điểm chung $\iff \text{d}(\text{O},\Delta )\le \text{R}\iff \frac{{11}^{\text{t}}}{5}\le 2^{\text{t}}\iff {\left(\frac{11}{2}\right)}^{\text{t}}\le 5\iff \text{t}\le {\log }_{\frac{11}{2}}5$

Do $x^2+y^2=4^t$ nên $\left|y\right|\le 2^t\le 2^{{\log }_{\frac{11}{2}}5}\approx 1.9239767$. Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{-1;0;1\}$

Thử lại:

Với y = -1, hệ (*) trở thành $\left\{\begin{array}{l}3x-4={11}^t\\ x^2+1=4^t\end{array}\Rightarrow {\left(\frac{{11}^t+4}{3}\right)}^2+1=4^t\iff {121}^t+{8.11}^t+25={9.4}^t\right.$ (**)

Nếu t < 0 thì $4^{\text{t}}<1\Rightarrow 4^{\text{t}}<{\left(\frac{{11}^{\text{t}}+4}{3}\right)}^2+1$

Nếu $t\ge 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{121}^t\ge 4^t\\ {8.11}^t\ge {8.4}^t\end{array}\Rightarrow {121}^t-4^t+8\left({11}^t-4^t\right)+25>0\right.$ Vậy (**) vô nghiệm.

Với y = 0 thì hệ (*) trở thành $\left\{\begin{array}{l}3x={11}^t\\ x^2=4^t\end{array}\Rightarrow \frac{{121}^t}{9}=4^t\iff t={\log }_{\frac{11}{2}}3\Rightarrow x=\frac{{11}^{{\log }_{\frac{11}{2}}3}}{3}\right.$

Với y = 1 thì hệ (*) trở thành $\left\{\begin{array}{l}3x+4={11}^t\\ x^2+1=4^t\end{array}\Rightarrow {\left(\frac{{11}^t-4}{3}\right)}^2+1=4^t\iff {121}^t-{8.11}^t+25={9.4}^{\text{'}}\right.$

Xét hàm số $\text{f}\left(\text{t}\right)={121}^{\text{t}}-{8.11}^{\text{t}}+25-{9.4}^{\text{t}}$ , liên tục trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$ có $\text{f}\left(\frac{1}{2}\right)\text{f}\left(1\right)<0$ nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[\frac{1}{2};1\right]$. Khi đó hiển nhiên sẽ tồn tại x thỏa mãn.