Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-\left(1-m\right)x+2m}}$ có hai tiệm cận đứng?

Hướng dẫn giải

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x^2-\left(1-m\right)x+2m>0\end{array}\right.$ .

Đặt $f\left(x\right)=x^2-\left(1-m\right)x+2m$

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình $f\left(x\right)=0$  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\ge -1$ .

Trường hợp 1. $f\left(x\right)$  có nghiệm $x=-1\iff f\left(-1\right)=0\iff m=-2$ .

Khi đó hàm số có dạng $y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-3x-4}}$  có tập xác định là $D=\left(4;+\infty \right)$  nên chỉ có một tiệm cận đứng.

Trường hợp 2. $f\left(x\right)$  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2>-1\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ \left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\ x_1+x_2>-2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(1-m\right)}^2-8m>0\\ 2m+1-m+1>0\\ 1-m>-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<5-2\sqrt{6}\\ m>5+2\sqrt{6}\end{array}\right.\\ \\ m>-2\\ m<3\end{array}\right.\Rightarrow -2<m<5-2\sqrt{6}$

Do $m\in \mathbb{Z}$  nên $m=-1;m=0$

Chọn B.