Chứng minh rằng: x⁴ + 2x³ ‒ x² ‒ 2x chia hết cho 24 với mọi x thuộc ℝ.

Ta có: x⁴ + 2x³ ‒ x² ‒2x = x³(x + 2) ‒ x(x + 2)

= (x³ ‒ x)(x + 2)

= x(x² ‒ 1)(x + 2)

= x(x ‒ 1)(x + 1)(x + 2)

Ta thấy (x ‒ 1)x(x + 1)(x + 2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ có ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 4.

Do đó (x ‒ 1)x(x + 1)(x + 2) ⋮ (2.3.4) = 24

Vậy x⁴ + 2x³ ‒ x² ‒ 2x chia hết cho 24.