Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD; M, N, P, Q lần lượt là thuộc các cạnh AF, EC, BF, DE và $\text{EM = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BF; }$ $\text{EM // BF}$. Khi đó MNPQ là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

B. Hình thang vuông

Đáp án đúng là: A

Nối EF; EP, FQ, EM, PM, QN. Gọi O là giao của QN và EF.

Xét tam giác CED ta có:  $\left\{\begin{array}{c}FN=\frac{1}{2}DE=EQ\\ FN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}ED\Rightarrow FN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}EQ\end{array}\right.$

Þ NFQE là hình bình hành nên hai đường chéo QN và EF giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra O là trung điểm của QN và EF (1)

Xét tam giác ABF ta có:  $\left\{\begin{array}{c}EM=\frac{1}{2}BF=PF\\ EM\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BF\Rightarrow EM\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}PF\end{array}\right.$

Þ EMFB là hình bình hành nên hai đường chéo PM và EF giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của EF nên O cũng là trung điểm của PM (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác QMNP có hai đường chéo QN, PM giao nhau tại trung điểm O mỗi đường nên QMNP là hình bình hành.