Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Trả lời

Gọi H là trung điểm của BD.

Ta có: K là trung điểm của CD.

Nên HK là đường trung bình tam giác BCD

$\Rightarrow$ HK // BC; HK = $\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$ 

$\Rightarrow$ (AK, BC) = (AK, HK)

Xét tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC $\Rightarrow$ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác ACD đều có K là trung điểm của CD $\Rightarrow$ AK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác AHK: $\cos \widehat{AKH}=\frac{A{K}^2+H{K}^2-A{H}^2}{2.AK.HK}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow \widehat{AKH}\approx 73,2°$

Vậy (AK, BC) = $\widehat{AKH}\approx 73,2°$