Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB; MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{a}{2}$                                     (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

$\Rightarrow$ MP // CD; MP = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{a}{2}$                                        (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

 Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow$ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC $\Rightarrow$ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = $\sqrt{C{P}^2-C{N}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP² + MN² = ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$ ; PN² = ${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$

$\Rightarrow$ MP² + MN² = PN²

 Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\widehat{NMP}=90°$.

Vậy AB ⊥ CD.