Cho số phức $z=1+\left(1+i\right)+{\left(1+i\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(1+i\right)}^{2018}$. Mệnh đề nào sau đây đúng

Đáp án C

Tổng trên là tổng của một cấp số nhân với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ q=1+i\end{array}\right.$.

Vậy $z=1+\left(1+i\right)+{\left(1+i\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(1+i\right)}^{2018}\Rightarrow z=S_{2019}=\frac{u_1\left(1-q^{2019}\right)}{1-q}\Rightarrow z=\frac{\left(1-{\left(1+i\right)}^{2019}\right)}{-i}$.

$\Rightarrow z=\frac{\left(1-{\left(1+i\right)}^{2019}\right)}{-i}\Rightarrow z=\frac{\left[1-{\left(-4\right)}^{504}.\left(-2+2i\right)\right]}{-i}\Rightarrow z=\frac{\left[1-{\left(-4\right)}^{504}.\left(-2+2i\right)\right]}{-i}$.

$\Rightarrow z=2^{1009}+\left(1+2^{1009}\right)i$.