Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi I là giao điểm của SO và AM.

Do $\left(\text{P}\right)\text{//BD}$ nên (P) cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến NP qua I và song song với BD; $(\text{N}\in \text{SB};\text{P}\in \text{SD})$

Xét tam giác SAC có I là giao điểm hai trung tuyến nên I là trọng tâm.

Ta có $\frac{{\text{V}}_{\text{S}.\text{APN}}}{{\text{V}}_{\text{S}.\text{ADB}}}=\frac{\text{SP}.\text{SN}}{\text{SD}.\text{SB}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\Rightarrow {\text{V}}_{\text{S}.\text{APN}}=\frac{4}{9} {\text{V}}_{\text{S}.\text{ADB}}=\frac{4}{9}.\frac{1}{2} \text{V}=\frac{2}{9} \text{V}$.

Tương tự $\frac{{\text{V}}_{\text{S}.\text{PMN }}}{{\text{V}}_{\text{S}.\text{DCB}}}=\frac{\text{ SP.SM.SN }}{\text{ SD.SC.SB }}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow {\text{V}}_{\text{S}.\text{PMN}}=\frac{2}{9} {\text{V}}_{\text{S}.\text{DCB}}=\frac{2}{9}.\frac{1}{2} \text{V}=\frac{1}{9} \text{V}$.

Từ đó ${\text{V}}_1={\text{V}}_{\text{S}.\text{APN}}+{\text{V}}_{\text{S}.\text{PMN}}=\frac{1}{3} \text{V}$. Do đó $\frac{{\text{V}}_2}{ {\text{V}}_1}=2$