Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y_{}^2-2y+x=0$và đường thẳng x + y - 2 = 0. Tính diện tích S của hình (H)?

A. S = 6

Ta có: $y_{}^2-2y+x=0\iff x=-y_{}^2+2y;x+y-2=0\iff x=2-y$

Giải phương trình $-y_{}^2+2y=2-y\iff \left[\begin{array}{l}y=1\\ y=2\end{array}\right.$

Diện tích cần tìm là:

$\begin{array}{l}S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|(-y_{}^2+2y)-(2-y)\right|dy=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|(-y_{}^2+3y-2)\right|dy\\ \text{ =}\underset{1}{\overset{2}{\int }}(-y_{}^2+3y-2)dy={\left.\left(-\frac{1}{3}{y}_{}^3+\frac{3}{2}{y}_{}^2-2y\right)\right|}_1^2\\ \text{ =}\left(-\frac{8}{3}+6-4\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-2\right)=\frac{1}{6}\end{array}$

Chọn: D