Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{\ln x},y=\mathrm{0,}x=1$ và $x=k\left(k>1\right)$. Kí hiệu $V_k$ là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox. Biết rằng $V_k=\pi$. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $4<k<5$.

Đáp án C

Từ đề bài, ta có: $V_k=\pi \iff \pi \underset{1}{\overset{k}{}}\ln xdx=\pi \iff \underset{1}{\overset{k}{}}\ln xdx=1$.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\ln x=u\\ dx=dv\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=x\end{array}\right.$.

Nên $\underset{1}{\overset{k}{}}\ln xdx=1\iff x{\left.\ln x\right|}_1^k-\underset{1}{\overset{k}{\int }}dx=1$.

$\iff k\ln k-k+1=1\iff k\ln k-k=0\iff k\left(\ln k-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}k=0\left(l\right)\\ k=e\end{array}\right.$.

Vậy $2<k<3$.