Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = sinx ,trục hoành và các đường thẳng $x=\mathrm{0,}x=\frac{\pi }{6}.$Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. $V=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Đáp án:C

Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}{\sin }^{2}xdx=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}dx-\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\cos 2xdx=\frac{\pi }{2}.{\left.x\right|}_0^{\frac{\pi }{6}}-\frac{\pi }{2}.\frac{1}{2}{\left.\sin 2x\right|}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{2}.\frac{1}{2}.\left(\sin \frac{\pi }{3}-\sin 0\right)$

$=\frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{2}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{4}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$