Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\frac{x^2}{2},y=\sqrt{2x}.$Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. $V=\frac{4\pi }{3}.$

Đáp án D

Giải phương trình: $\frac{x^2}{2}=\sqrt{2}x,\left(x\ge 0\right)\iff x^4=8x\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|\frac{x^4}{4}-2x\right|dx=\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^4-8x\right|dx=-\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x^4-8x)dx=-\frac{\pi }{4}{\left.\left(\frac{x^5}{5}-4x^2\right)\right|}_0^2=-\frac{\pi }{4}\left(\frac{32}{5}-16\right)=\frac{12\pi }{5}.$